Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo indicado.
y=1 / x, x=1, x=3, y=0; em torno do eixo x.

Passo 1

A questão pede para esboçar a região R no plano xy que fica sob a curva y=1/x entre x=1 e x=3 até o eixo y=0, e depois calcular o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volume por sólidos de revolução, usando o método dos discos (ou arruelas).

Passo 2

Primeiro fazemos um esboço: traçamos a hipérbole y=1/x, a linha vertical x=1, a linha vertical x=3 e o eixo y=0. A região R é o “fundo” delimitado por essas curvas, um tipo de faixa curva que fica entre x=1 e x=3 sob a hipérbole.

Passo 3

Para calcular o volume pelo método dos discos, imaginamos fatias perpendiculares ao eixo x que geram discos de raio igual a y=f(x)=1/x. Como a parte de baixo é y=0, não há furo interno (arruela de raio interno zero). A fórmula é
V=piintegralx=1^3l(f(x)r)^2,dx = piintegral1^31x^2,dx

Passo 4

Agora integramos 1/x^2=x^-2:
$$\int_{1}{3}x{-2},dx = \Bigl[-x{-1}\Bigr]_{1}{3} = \bigl(-1/3\bigr)-\bigl(-1\bigr)=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
$$
Multiplicando por integral1^3x^-2,dx = l[-x^-1r]1^3 = l(-1/3r)-l(-1r)=1-tfrac13=tfrac23 , obtemos o volume.

Resposta

O volume do sólido de revolução é V=2pi3.

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