Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de
em torno do eixo indicado.
; em torno do eixo
.
Passo 1
A questão pede para esboçar a região R no plano xy que fica sob a curva
entre
e
até o eixo
, e depois calcular o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno do eixo x. O conteúdo é cálculo de volume por sólidos de revolução, usando o método dos discos (ou arruelas).
Passo 2
Primeiro fazemos um esboço: traçamos a hipérbole
, a linha vertical
, a linha vertical
e o eixo
. A região R é o “fundo” delimitado por essas curvas, um tipo de faixa curva que fica entre x=1 e x=3 sob a hipérbole.
Passo 3
Para calcular o volume pelo método dos discos, imaginamos fatias perpendiculares ao eixo x que geram discos de raio igual a
. Como a parte de baixo é
, não há furo interno (arruela de raio interno zero). A fórmula é
Passo 4
Agora integramos
:
$$\int_{1}{3}x{-2},dx = \Bigl[-x{-1}\Bigr]_{1}{3} = \bigl(-1/3\bigr)-\bigl(-1\bigr)=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}.
$$
Multiplicando por , obtemos o volume.
Multiplicando por
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.