Em cada um dos Problemas de 9 a 12 encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da EDO linear de 4ª ordem com coeficientes constantes
$$y^{(4)}+2y’’’+y’’+8y’-12y=12\sin t - e^{-t},\quad y(0)=3,;y’(0)=0,;y’’(0)=-1,;y’’’(0)=2.
$$
O conteúdo aqui é método dos coeficientes indeterminados: primeiro a solução homogênea, depois soma de particulares para cada termo forçante e, por fim, ajuste pelas condições iniciais.
Passo 2
Começamos achando a solução homogênea. Montamos o polinômio característico
Testando raízes inteiras, vemos que
e
são raízes. Dividindo por
sobra
Logo
$$y_h=C_1e^t + C_2e^{-3t} + C_3\cos2t + C_4\sin2t.
$$
Passo 3
Agora buscamos particular para o termo
. Como
e
não aparecem na
, tentamos
$$y_{p1}=A\sin t + B\cos t.
$$
Derivando e substituindo na EDO, obtemos o sistema
$$-12A-6B=12,\quad 6A-12B=0
$$
de onde
$$A=-\frac45,\quad B=-\frac25.
$$
Então
$$y_{p1}=-\frac45\sin t - \frac25\cos t.
$$
Passo 4
Em seguida tratamos o termo
. Como
não é raiz do homogêneo, tentamos
$$y_{p2}=C,e^{-t}.
$$
Derivando e substituindo, obtemos
$$-20C,e{-t}=-e{-t}\implies C=\frac1{20}.
$$
Logo
$$y_{p2}=\frac1{20}e^{-t}.
$$
Passo 5
A solução geral é a soma
$$y(t)=C_1e^t + C_2e^{-3t} + C_3\cos2t + C_4\sin2t - \tfrac45\sin t - \tfrac25\cos t + \tfrac1{20}e^{-t}.
$$
Passo 6
Agora usamos as condições iniciais. Calculamos
, avaliamos em
e formamos o sistema
Resolvendo esse sistema achamos
$$C_1=\frac{81}{40},;C_2=\frac{73}{520},;C_3=\frac{77}{65},;C_4=-\frac{49}{130}.
$$
Passo 7
Substituindo tudo de volta, a solução exata fica
$$y(t)=\frac{81}{40}e^t + \frac{73}{520}e^{-3t} + \frac{77}{65}\cos2t - \frac{49}{130}\sin2t - \frac45\sin t - \frac25\cos t + \frac1{20}e^{-t}.
$$
Para o gráfico, note que as exponenciais decaem e sobra um regime harmônico forçado de frequência 1 rad/s. Esboçando em, por exemplo,
, veremos oscilações amortecidas se aproximando de um senoide de amplitude fixa.
Passo 8
O gráfico mostra que a solução apresenta componentes transitórias (as exponenciais) que se extinguem e, no regime permanente, vibra em torno da combinação de
e
imposta pelo termo forçante
.
Resposta
y(t)=\frac{81}{40}e^t + \frac{73}{520}e^{-3t} + \frac{77}{65}\cos2t - \frac{49}{130}\sin2t - \frac45\sin t - \frac25\cos t + \frac1{20}e^{-t}