Em cada um dos Problemas de 9 a 12 encontre a solução do problema de valor inicial dado. Depois faça um gráfico da solução.
y^(4)+2 y^prime prime prime+y^prime prime+8 y^prime-12 y=12 sen t-e^-t ; y(0)=3, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=-1, y^prime prime prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da EDO linear de 4ª ordem com coeficientes constantes
$$y^{(4)}+2y’’’+y’’+8y’-12y=12\sin t - e^{-t},\quad y(0)=3,;y’(0)=0,;y’’(0)=-1,;y’’’(0)=2.
$$
O conteúdo aqui é método dos coeficientes indeterminados: primeiro a solução homogênea, depois soma de particulares para cada termo forçante e, por fim, ajuste pelas condições iniciais.

Passo 2

Começamos achando a solução homogênea. Montamos o polinômio característico
r^4+2r^3+r^2+8r-12=0
Testando raízes inteiras, vemos que r=1 e r=-3 são raízes. Dividindo por (r-1)(r+3) sobra
r^2+4=0; implies r=pm2i
Logo
$$y_h=C_1e^t + C_2e^{-3t} + C_3\cos2t + C_4\sin2t.
$$

Passo 3

Agora buscamos particular para o termo 12sin t. Como sin t e cos t não aparecem na yh, tentamos
$$y_{p1}=A\sin t + B\cos t.
$$
Derivando e substituindo na EDO, obtemos o sistema
$$-12A-6B=12,\quad 6A-12B=0
$$
de onde
$$A=-\frac45,\quad B=-\frac25.
$$
Então
$$y_{p1}=-\frac45\sin t - \frac25\cos t.
$$

Passo 4

Em seguida tratamos o termo -e^-t. Como r=-1 não é raiz do homogêneo, tentamos
$$y_{p2}=C,e^{-t}.
$$
Derivando e substituindo, obtemos
$$-20C,e{-t}=-e{-t}\implies C=\frac1{20}.
$$
Logo
$$y_{p2}=\frac1{20}e^{-t}.
$$

Passo 5

A solução geral é a soma
$$y(t)=C_1e^t + C_2e^{-3t} + C_3\cos2t + C_4\sin2t - \tfrac45\sin t - \tfrac25\cos t + \tfrac1{20}e^{-t}.
$$

Passo 6

Agora usamos as condições iniciais. Calculamos y',y'',y''', avaliamos em t=0 e formamos o sistema
  1. C1+C2+C3=67/20
  2. C1-3C2+2C4=17/20
  3. C1+9C2-4C3=-29/20
  4. C1-27C2-8C4=5/4
Resolvendo esse sistema achamos
$$C_1=\frac{81}{40},;C_2=\frac{73}{520},;C_3=\frac{77}{65},;C_4=-\frac{49}{130}.
$$

Passo 7

Substituindo tudo de volta, a solução exata fica
$$y(t)=\frac{81}{40}e^t + \frac{73}{520}e^{-3t} + \frac{77}{65}\cos2t - \frac{49}{130}\sin2t - \frac45\sin t - \frac25\cos t + \frac1{20}e^{-t}.
$$
Para o gráfico, note que as exponenciais decaem e sobra um regime harmônico forçado de frequência 1 rad/s. Esboçando em, por exemplo, y(t)=8140e^t + 73520e^-3t + 7765cos2t - 49130sin2t - 45sin t - 25cos t + 120e^-t , veremos oscilações amortecidas se aproximando de um senoide de amplitude fixa.

Passo 8

O gráfico mostra que a solução apresenta componentes transitórias (as exponenciais) que se extinguem e, no regime permanente, vibra em torno da combinação de sin t e cos t imposta pelo termo forçante 12sin t.

Resposta

y(t)=\frac{81}{40}e^t + \frac{73}{520}e^{-3t} + \frac{77}{65}\cos2t - \frac{49}{130}\sin2t - \frac45\sin t - \frac25\cos t + \frac1{20}e^{-t}

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