Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de
em torno do eixo indicado.
; em torno do eixo
.
Passo 1
Na questão, temos a região R determinada por
,
e
. O objetivo é esboçar essa região no plano cartesiano e calcular o volume do sólido obtido ao girá-la em torno do eixo
. Vamos usar o método dos discos (ou anéis).
Passo 2
Para entender onde a região termina em
, encontramos a interseção entre
e
, ou seja,
implica
. Logo, sobre o eixo
nosso domínio é
.
Cada fatia perpendicular ao eixo gera um anel de raio externo
(distância do eixo
até
) e raio interno
(distância até a curva). A área da seção transversal é
Cada fatia perpendicular ao eixo
Passo 3
Montamos o volume como a integral das áreas das seções de
a
:
Passo 4
Agora calculemos a integral: