Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo indicado.
y=raizx, x=0, y=4; em torno do eixo x.

Passo 1

Na questão, temos a região R determinada por y = raizx, x = 0 e y = 4. O objetivo é esboçar essa região no plano cartesiano e calcular o volume do sólido obtido ao girá-la em torno do eixo x. Vamos usar o método dos discos (ou anéis).

Passo 2

Para entender onde a região termina em x, encontramos a interseção entre y = raizx e y = 4, ou seja, 4 = raizx implica x = 16. Logo, sobre o eixo x nosso domínio é 0 <= x <= 16.
Cada fatia perpendicular ao eixo x gera um anel de raio externo R(x) = 4 (distância do eixo x até y = 4) e raio interno r(x) = raizx (distância até a curva). A área da seção transversal é
A(x) = pil(R(x)^2 - r(x)^2r) = pi(16 - x)

Passo 3

Montamos o volume como a integral das áreas das seções de x = 0 a x = 16:
V = integral0^16 pi(16 - x),dx

Passo 4

Agora calculemos a integral:
V = piintegral0^16(16 - x),dx = pil[16x - tfracx^22r]0^16 = pi(256 - 128) = 128pi

Resposta

128pi

Exercícios relacionados