Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo indicado.
y=x^2-4 x, y=0; em torno do eixo x.

Passo 1

A região R é definida entre a curva y = x² – 4x e a reta y = 0, e vamos girá-la em torno do eixo x. O conteúdo aqui é volume de sólido de revolução pelo método dos discos: precisamos achar onde elas se encontram, a expressão para o raio do disco e montar o integral de volume.

Passo 2

Para encontrar as interseções, resolvemos x² – 4x = 0. Fatorando, temos x(x – 4) = 0, logo x = 0 e x = 4. Essas serão os limites de integração.
Entre x = 0 e x = 4, teste em x = 2: y(2) = 4 – 8 = –4 < 0. A parábola está abaixo do eixo x, então a distância da curva ao eixo x (o raio do disco) é r(x) = |y| = 4x – x².

Passo 3

Pelo método dos discos, o volume é a integral de π [r(x)]² de 0 a 4. Montando o integral:
V = integral0^4 pi,(4x - x^2)^2,dx
Expandindo (4x – x²)² = 16x² – 8x³ + x^4 e integrando de 0 a 4:
integral0^4(16x^2 - 8x^3 + x^4)dx = 51215
Multiplicando por π, obtemos o volume final.

Resposta

512pi15

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