Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo indicado.
y=x^2, y=2; em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas curvas y=x^2 e y=2 e depois girar essa região em torno do eixo y para calcular o volume do sólido obtido. Vamos usar o método dos discos (seções transversais em função de y).

Passo 2

Primeiro, encontramos onde as duas curvas se interceptam: resolvendo x^2=2 achamos x=pmraiz2. Assim, R é o conjunto de pontos que satisfazem x^2<= y<=2, com -raiz2<= x<=raiz2.

Passo 3

Para um certo valor de y entre 0 e 2, a seção horizontal de R é o segmento de x=-raiz y até x=+raiz y. Ao girar esse segmento em torno do eixo y, obtemos um disco de raio R(y)=raiz y.

Passo 4

O volume de um disco de espessura dy é dV=pil(R(y)r)^2,dy=pi y,dy. Logo, o volume total é
V=integraly=0^2pi y,dy=pi[y^22]0^2=picdot42=2pi

Resposta

2pi

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