Calcule
integral 41+raizx d x

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente integração de funções racionais com radicais. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões com raízes quadradas e usar substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos deixar . Isso significa que .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dudx = 12 x^-1/2 Rightarrow du = 12raizx , dx em termos de dx = 2raizx , du = 2u , du . Derivando em relação a , temos:
Queremos expressar em termos de , então multiplicamos ambos os lados por :

Passo 4

Agora, substituímos integral 41+raizx , dx = integral 41 + u cdot 2u , du = integral 8u1 + u , du e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a fração 8u1 + u = 8 - 81 + u . Podemos dividir 8u por (1 + u):
integral (8 - 81 + u) , du = integral 8 , du - integral 81 + u , du
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 8 , du = 8u + C
integral 81 + u , du = 8 ln|1 + u| + C
Então, juntando tudo:
8u - 8 ln|1 + u| + C

Passo 7

Por fim, voltamos para 8raizx - 8 ln(1 + raizx) + C substituindo :

Resposta

integral 41+raizx , dx = 8raizx - 8 ln(1 + raizx) + C

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