Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e utilize o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
y=raizx, x=4, y=0; em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas curvas y=√x, x=4 e y=0 e depois calcular o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois estamos girando uma região descrita em função de x ao redor do eixo y.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas consideramos um elemento vertical em x com espessura dx. A casca tem raio igual à distância do elemento ao eixo y, ou seja, raio = x, e altura dada pela diferença entre a curva superior e a curva inferior: altura = √x − 0 = √x.
O volume V é dado pela integral das áreas das cascas multiplicadas pela espessura, seguindo a fórmula geral:
V = integrala^b 2pi cdot (raio) cdot (a

Passo 3

Substituindo raio = x, altura = √x, e os limites de integração x ∈ [0,4], obtemos:
V = 2pi integral0^4 xraizx ,dx = 2pi integral0^4 x^3/2 ,dx

Passo 4

Avaliação da integral pelo método de primitivação e aplicação dos limites resulta em:
V = 2pi integral0^4 x^3/2 ,dx = 2pi [25 x^5/2]0^4 = 4pi5 cdot 32 = 128pi5

Resposta

128pi5

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