Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas e utilize o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
; em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas curvas y=√x, x=4 e y=0 e depois calcular o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y. Vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois estamos girando uma região descrita em função de x ao redor do eixo y.
Passo 2
No método das cascas cilíndricas consideramos um elemento vertical em x com espessura dx. A casca tem raio igual à distância do elemento ao eixo y, ou seja, raio = x, e altura dada pela diferença entre a curva superior e a curva inferior: altura = √x − 0 = √x.
O volume V é dado pela integral das áreas das cascas multiplicadas pela espessura, seguindo a fórmula geral:
O volume V é dado pela integral das áreas das cascas multiplicadas pela espessura, seguindo a fórmula geral:
Passo 3
Substituindo raio = x, altura = √x, e os limites de integração x ∈ [0,4], obtemos:
Passo 4
Avaliação da integral pelo método de primitivação e aplicação dos limites resulta em: