Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo indicado.
y=x^3, x=-2, y=0; em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região R limitada por y = x³, x = –2 e y = 0, e depois calcular o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo x. Vamos usar método de discos (washer) e integração definida.

Passo 2

Primeiro, identificamos onde as curvas se encontram: y = x³ e y = 0 intersectam em x³ = 0 ⇒ x = 0. A reta vertical é x = –2. Logo x varia de –2 a 0 e, para cada x nesse intervalo, y vai de x³ (negativo) até 0. A região está abaixo do eixo x.

Passo 3

Ao girar em torno do eixo x, cada fatia em x gera um disco de raio igual à distância de y = x³ até o eixo x. Como x³ ≤ 0, esse raio é R(x) = |x³| = –x³. Não há furo interno, então a área do disco é π[R(x)]².
O volume é
V = π integralx=-2^0 [R(x)]² ,dx = π integral-2^0 (-x³)² ,dx = π integral-2^0 x⁶ ,dx ²³²
Agora basta integrar:
V = π [ x⁷7 ]-2^0 = π l(0 - (-2)⁷7r) = π l(--1287r) = 128π7

Resposta

128π7

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