Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de
em torno do eixo indicado.
; em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a região R limitada por y = x³, x = –2 e y = 0, e depois calcular o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo x. Vamos usar método de discos (washer) e integração definida.
Passo 2
Primeiro, identificamos onde as curvas se encontram: y = x³ e y = 0 intersectam em x³ = 0 ⇒ x = 0. A reta vertical é x = –2. Logo x varia de –2 a 0 e, para cada x nesse intervalo, y vai de x³ (negativo) até 0. A região está abaixo do eixo x.
Passo 3
Ao girar em torno do eixo x, cada fatia em x gera um disco de raio igual à distância de y = x³ até o eixo x. Como x³ ≤ 0, esse raio é R(x) = |x³| = –x³. Não há furo interno, então a área do disco é π[R(x)]².
O volume é
O volume é
Agora basta integrar: