Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas e utilize o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo indicado.
y=x^2, y^2=8 x; em torno do eixo y.

Passo 1

A questão pede pra gente desenhar a região R limitada pelas curvas y = x² e y² = 8x e depois usar cascas cilíndricas (método das cascas) pra achar o volume obtido ao girar R em torno do eixo y. O conteúdo aqui é integração por método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção entre as curvas. Igualando y = x² e y² = 8x, temos y = x² ⇒ x = √y (considerando x ≥ 0) e substituindo em y² = 8x dá y² = 8√y. Isso leva a y = 0 ou y³ = 64, de onde y = 4. Logo, as interseções são em (0,0) e (2,4).

Passo 3

Pra esboçar R, note que em primeiro quadrante temos a parábola vertical y = x² (abertura pra cima) e a parábola horizontal x = y²/8 (abertura pra direita). Elas se cortam em (0,0) e (2,4), e R é a região entre essas curvas.

Passo 4

No método das cascas cilíndricas, usamos fatias verticais. Cada fatia em x (entre x=0 e x=2) gera uma casca de raio x e altura igual à diferença entre y_superior e y_inferior. Aqui y_superior vem de y = √(8x) e y_inferior de y = x². Ou seja, altura = √(8x) - x².

Passo 5

O volume usando cascas é
V = 2pi integralx=0^2 x l(raiz8x - x^2r) ,dx Expandindo e simplificando: raiz8x = 2raiz2,x^1/2, então
A integral fica
V = 2pi integral0^2 l(2raiz2,x^3/2 - x^3r) dx = 4piraiz2 integral0^2 x^3/2 dx - 2pi integral0^2 x^3 dx

Passo 6

Calculamos cada termo:
Para integral0^2 x^3/2 dx = 25 x^5/2 |0^2 = 25 (2^5/2) = 25cdot 4raiz2 = 8raiz25
Então o primeiro termo é
4piraiz2 cdot 8raiz25 = 4pi cdot 8cdot 25 = 64pi5

integral0^2 x^3 dx = x^44|0^2 = 164 = 4,
de onde o segundo termo é 2pi cdot 4 = 8pi
Subtraindo, obtemos
$$V = \frac{64\pi}{5} - 8\pi = \frac{64\pi - 40\pi}{5} = \frac{24\pi}{5}.
$$

Resposta

\frac{24\pi}{5}

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