Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas e utilize o método das cascas cilíndricas para calcular o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado. ; em torno do eixo .
Passo 1
A questão pede pra gente desenhar a região R limitada pelas curvas y = x² e y² = 8x e depois usar cascas cilíndricas (método das cascas) pra achar o volume obtido ao girar R em torno do eixo y. O conteúdo aqui é integração por método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, encontramos os pontos de interseção entre as curvas. Igualando y = x² e y² = 8x, temos y = x² ⇒ x = √y (considerando x ≥ 0) e substituindo em y² = 8x dá y² = 8√y. Isso leva a y = 0 ou y³ = 64, de onde y = 4. Logo, as interseções são em (0,0) e (2,4).
Passo 3
Pra esboçar R, note que em primeiro quadrante temos a parábola vertical y = x² (abertura pra cima) e a parábola horizontal x = y²/8 (abertura pra direita). Elas se cortam em (0,0) e (2,4), e R é a região entre essas curvas.
Passo 4
No método das cascas cilíndricas, usamos fatias verticais. Cada fatia em x (entre x=0 e x=2) gera uma casca de raio x e altura igual à diferença entre y_superior e y_inferior. Aqui y_superior vem de y = √(8x) e y_inferior de y = x². Ou seja, altura = √(8x) - x².
Passo 5
O volume usando cascas é
Expandindo e simplificando: , então
A integral fica
Passo 6
Calculamos cada termo:
Para
Então o primeiro termo é