Esboce a região
R do plano
R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
R=(x, y) in R^2 ; y >= 0

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
R=(x,y)inR^2; y>=0, determinar sua fronteira e classificá-la quanto a aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e conexo (C). O conteúdo aqui é geometria do plano e conceitos de topologia elementar (aberto, fechado, fronteira, conexidade, compacidade).

Passo 2

A região R é o “semiplano superior” incluindo o eixo x. No plano (x,y), isso corresponde a todos os pontos que ficam sobre ou acima da reta horizontal de equação y=0. Para esboçar, desenhe o eixo x e marque em cinza toda a parte acima dele.

Passo 3

A fronteira de um conjunto em R^2 é o conjunto de pontos onde toda vizinhança contém pontos de dentro e de fora da região. Aqui, qualquer ponto com y>0 tem uma vizinhança contida em R, e qualquer ponto com y<0 tem vizinhança fora. Mas todo ponto da reta y=0 tem vizinhanças que tocam tanto pontos com y>0 (dentro) quanto com y<0 (fora). Logo,
partialR=(x,y)inR^2; y=0

Passo 4

Vamos verificar as propriedades:
1. Aberto? Não, pois R contém seus pontos com y=0, e nesses pontos não cabe uma bola inteira contida em R.
2. Fechado? Sim, porque o complemento y<0 é aberto ou porque ymapsto y é contínua e R= (y>=0)=l(y^-1([0,infty))r) é pré-imagem de conjunto fechado.
3. Limitado? Não, pois x e y podem crescer sem limite em R.
4. Compacto? Não, pois falta ser limitado (e em R^2 um conjunto é compacto \iff\ fechado e limitado).
5. Conexo? Sim, pois o semiplano superior é um único pedaço sem ``buracos'' nem separações.

Resposta

Fronteira: partialR=(x,y)inR^2; y=0.
Classificação: fechado (F), não limitado, não compacto, conexo (C).

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