Esboce a região
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
, determinar sua fronteira e classificá-la quanto a aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e conexo (C). O conteúdo aqui é geometria do plano e conceitos de topologia elementar (aberto, fechado, fronteira, conexidade, compacidade).
Passo 2
A região
é o “semiplano superior” incluindo o eixo
. No plano
, isso corresponde a todos os pontos que ficam sobre ou acima da reta horizontal de equação
. Para esboçar, desenhe o eixo
e marque em cinza toda a parte acima dele.
Passo 3
A fronteira de um conjunto em
é o conjunto de pontos onde toda vizinhança contém pontos de dentro e de fora da região. Aqui, qualquer ponto com
tem uma vizinhança contida em
, e qualquer ponto com
tem vizinhança fora. Mas todo ponto da reta
tem vizinhanças que tocam tanto pontos com
(dentro) quanto com
(fora). Logo,
Passo 4
Vamos verificar as propriedades:
Resposta
Fronteira:
.
Classificação: fechado (F), não limitado, não compacto, conexo (C).
Classificação: fechado (F), não limitado, não compacto, conexo (C).