Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa x0 :
f(x)=(x^2-1)(x+1), x0=2

Passo 1

O enunciado pede as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
f(x) = (x^2 - 1)(x + 1)
no ponto de abscissa x0 = 2. Para isso vamos precisar de dois elementos essenciais: o ponto de contato l(x0,f(x0)r) e a derivada f'(x) em x0, pois a inclinação da reta tangente é f'(x0) e a da normal é o negativo do recíproco dessa inclinação.

Passo 2

Calculemos primeiro f(2) e f'(x).
Aplicando produto, com u(x)=x^2-1 e v(x)=x+1, temos
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = 2x,(x+1)+(x^2-1)cdot1 = 2x^2+2x+x^2-1 = 3x^2+2x-1
Agora avalie em x=2:
f(2) = (2^2-1)(2+1)=3cdot3=9, f'(2) = 3cdot2^2+2cdot2-1 = 12+4-1 = 15

Passo 3

A reta tangente passa por (2,9) com inclinação mtan=15. Logo sua equação em forma ponto--inclinação é
y - 9 = 15,(x - 2)
Em forma explícita,
y = 15x -30 +9 = 15x - 21

Passo 4

A reta normal em (2,9) tem inclinação mnorm = -tfrac115. Assim,
y - 9 = -tfrac115,(x - 2)
Colocando em forma explícita,
y = -tfrac115x + tfrac215 + 9 = -tfrac115x + tfrac13715

Resposta

Tangente: y = 15x - 21
Normal: y = -tfrac115x + tfrac13715

Exercícios relacionados