Seja ( M, d ) um espaço métrico. Dizemos que M é localmente compacto se, dado x in M, existe um conjunto aberto Ux subset M tal que x in Ux e barUx é compacto.
i) Seja f: M N uma aplicação contínua e aberta (leva abertos em abertos) entre os espaços métricos ( M, d ) e (N, tilded). Se M for localmente compacto, então o conjunto f(M) subset N é um espaço localmente compacto com a métrica induzida de N.
ii) Mostre que o conjunto dos números racionais Q com a métrica usual (d(x, y)=|x-y|) não é localmente compacto.
iii) Dizemos que um espaço métrico ( M, d ) é um espaço métrico uniformemente localmente compacto se toda bola fechada BR[x] é compacta, para todo x in M e R>0. Mostre que todo espaço métrico uniformemente localmente compacto é localmente compacto. Mostre que o inverso não ocorre (pense no espaço métrico com a métrica que só assume os valores 0 e 1 , como visto diversas vezes em sala de aula).
iv) Seja ( M, d ) um espaço métrico localmente compacto. Suponha que F subset M seja um subconjunto fechado. Mostre que o espaço métrico F com a métrica induzida por M também é um espaço métrico localmente compacto.

Passo 1

O enunciado trata de espaços métricos e da noção de compacto local: um espaço métrico (M,d) é localmente compacto se, para todo xin M, existe um aberto Uxsubset M contendo x cuja aderência Ux é compacta. Vamos mostrar:
i) se fcolon Mto N é contínua e aberta e M é localmente compacto, então f(M) (com a métrica induzida de N) é localmente compacto;
ii) Q com a métrica d(x,y)=|x-y| não é localmente compacto;
iii) se todo raio-fechado BR[x] em M é compacto então M é localmente compacto, mas o recíproco falha (infinito discreto com métrica só 0 ou 1);
iv) se M é localmente compacto e Fsubset M é fechado, então F (com métrica induzida) é localmente compacto.

Passo 2

(Prova de i)
Seja yin f(M). Como f é sobre f(M), existe xin M com f(x)=y. Por hipótese de local compacidade, há um aberto Uxsubset M com xin Ux e Ux compacto em M. Então f(Ux) é um aberto de N contendo y, pois f é aberta, e
f(Ux)subset fl(Uxr)
pela continuidade de f. Como fl(Uxr) é imagem contínua de conjunto compacto, é compacto. Logo f(Ux) é compacto em f(M), provando que f(M) é localmente compacto.

Passo 3

(Prova de ii)
Seja qinQ e tome qualquer raio r>0. Então U=(q-r,q+r)capQ é um aberto em Q. Sua aderência em Q é
U=[,q-r,q+r,]capQ,
que é um conjunto fechado e limitado em Q mas não é compacto porque, por exemplo, a sequência de racionais em U que converge para uma irracional não tem ponto limite em Q. Logo U falha em ser compacto, e Q não é localmente compacto.

Passo 4

(Prova de iii, implicação)
Seja (M,d) tal que toda bola fechada BR[x] é compacta. Dado xin M, tome Ux=B1(x) (bola aberta de raio 1). Então
Uxsubset B1[x],
e como B1[x] é compacto, a aderência de Ux é compacta. Logo M é localmente compacto.

Passo 5

(Contra-exemplo para o recíproco)
Considere um conjunto infinito X com a métrica discreta d(x,y)=0 se x=y e d(x,y)=1 se xneq y. Para cada x, a bola aberta de raio 1/2 é x, cuja aderência é x (finita e compacta), logo X é localmente compacto. Mas a bola fechada de raio 1 em qualquer x é todo X, que não é compacto se X for infinito. Logo não é uniformemente localmente compacto.

Passo 6

(Prova de iv)
Seja Fsubset M fechado e M localmente compacto. Dado xin F, existe em M um aberto U com xin U e U compacto. Então V=Ucap F é aberto em F e contém x. Em F,
V^F subset Ucap F,
e Ucap F é fechado em U compacto, logo compacto. Assim V^F é compacto em F, provando que F é localmente compacto.

Resposta

i) f(M) é localmente compacto.
ii) Q com a métrica usual não é localmente compacto.
iii) Se todo BR[x] é compacto, então M é localmente compacto. O recíproco falha no espaço discreto infinito com métrica valendo apenas 0 ou 1.
iv) Qualquer subconjunto fechado de espaço métrico localmente compacto é localmente compacto.

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