Exercício 10 (D.L.6.17)
Sejam
um campo de vetores e
um ponto regular de
. Mostre que se
, então
é uma órbita periódica de
.
Sejam
Passo 1
O enunciado trata de um campo de vetores
e da sua fluxo
. Para cada ponto
definimos o conjunto-omega
O ponto
é dito regular se
. Queremos mostrar que, se
, então a órbita de
sob
é fechada e periódica. Vamos usar o conceito de seção de Poincaré (seção transversal) e o mapa de retorno para concluir que existe um ponto que retorna exatamente a si mesmo, gerando uma órbita periódica.
Passo 2
Como
é regular,
. Logo podemos escolher uma pequena curva lisa
passando por
e transversal a
em
:
-
é difeomorfa a um pequeno intervalo real, digamos . - Em cada ponto de
o vetor não é tangente a , garantindo que as trajetórias cruzem de um lado para o outro.
Em particular, existe
tal que a parte
é um pequeno segmento transversal ao fluxo.
é um pequeno segmento transversal ao fluxo.
Passo 3
Definimos o mapa de retorno de Poincaré
da seguinte forma: para cada
, seja
Como
é transversal e o fluxo é
,
existe e é contínua em
, e o mapa
é bem definido e contínuo numa vizinhança de
em
. Além disso,
somente se
não for ponto fixo de
.
Passo 4
Pela hipótese
, existem instantes
tais que
. Para
grande, cada
atravessa
num ponto próximo de
. Logo, podemos extrair uma sequência de retornos sucessivos à seção,
e essa sequência
tende a
.
Agora,
é um mapa contínuo de um intervalo real (aqui
) em si mesmo, e
é um ponto de retorno arbitrariamente próximo a si mesmo. Argumento de ordem simples: se
não tivesse ponto fixo, então ou
para todo
ou
em toda vizinhança, o que impediria
de retornar arbitrariamente próximo a
. Portanto, deve existir algum
tal que
Isto significa que
, ou seja, a órbita de
fecha-se após tempo
, formando uma órbita periódica.
Passo 5
Como a órbita periódica encontrada passa por
e a vizinhança de
, e
era recorrente em sua própria órbita-omega, concluímos que toda a cadeia de acumulação
coincide exatamente com essa órbita fechada. Assim
é uma órbita periódica de
.