Exercício 10 (D.L.6.17)
Sejam f: E R^2 um campo de vetores e x in E um ponto regular de f. Mostre que se x in Lomega(x), então Lomega(x) é uma órbita periódica de f.

Passo 1

O enunciado trata de um campo de vetores fcolon EsubseteqR^2toR^2 e da sua fluxo varphi(t,x). Para cada ponto xin E definimos o conjunto-omega
Lomega(x)=lyin E:exists,tnto+infty com varphi(tn,x)to yr
O ponto x é dito regular se f(x)neq0. Queremos mostrar que, se xin Lomega(x), então a órbita de x sob varphi é fechada e periódica. Vamos usar o conceito de seção de Poincaré (seção transversal) e o mapa de retorno para concluir que existe um ponto que retorna exatamente a si mesmo, gerando uma órbita periódica.

Passo 2

Como x é regular, f(x)neq0. Logo podemos escolher uma pequena curva lisa Sigma passando por x e transversal a f em x:
  1. Sigma é difeomorfa a um pequeno intervalo real, digamos Sigmasimeq(-de<a,de<a).
  2. Em cada ponto de Sigma o vetor f não é tangente a Sigma, garantindo que as trajetórias cruzem Sigma de um lado para o outro.
Em particular, existe varepsilon>0 tal que a parte
Sigmavarepsilon=yinSigma:dist(y,x)<varepsilon
é um pequeno segmento transversal ao fluxo.

Passo 3

Definimos o mapa de retorno de Poincaré
Pcolon Sigmavarepsilon longrightarrow Sigma
da seguinte forma: para cada yinSigmavarepsilon, seja
tau(y)=min,t>0:varphi(t,y)inSigmavarepsilon
Como Sigma é transversal e o fluxo é C^1, tau(y) existe e é contínua em y, e o mapa
P(y)=varphil(tau(y),,yr)
é bem definido e contínuo numa vizinhança de x em Sigma. Além disso, P(y)neq y somente se y não for ponto fixo de P.

Passo 4

Pela hipótese xin Lomega(x), existem instantes tnto+infty tais que varphi(tn,x)to x. Para n grande, cada varphi(tn,x) atravessa Sigmavarepsilon num ponto próximo de x. Logo, podemos extrair uma sequência de retornos sucessivos à seção,
y1=P(x), y2=P(y1)=P^2(x), ldots, yk=P^k(x),;ldots
e essa sequência yk tende a x.
Agora, P é um mapa contínuo de um intervalo real (aqui Sigmavarepsilon) em si mesmo, e x é um ponto de retorno arbitrariamente próximo a si mesmo. Argumento de ordem simples: se P não tivesse ponto fixo, então ou P(y)>y para todo yin(Sigmavarepsilon)setminusx ou P(y)<y em toda vizinhança, o que impediria P^k(x) de retornar arbitrariamente próximo a x. Portanto, deve existir algum y^*inSigmavarepsilon tal que
P(y^*)=y^*
Isto significa que varphi(tau(y^*),y^*)=y^*, ou seja, a órbita de y^* fecha-se após tempo tau(y^*)>0, formando uma órbita periódica.

Passo 5

Como a órbita periódica encontrada passa por y^* e a vizinhança de x, e x era recorrente em sua própria órbita-omega, concluímos que toda a cadeia de acumulação ,Lomega(x) coincide exatamente com essa órbita fechada. Assim Lomega(x) é uma órbita periódica de f.

Resposta

Lomega(x) é uma órbita periódica de f.

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