Esboce a região
R do plano
R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
R=(x, y) in R^2 ;|x| <= 1,-1 <= y<2

Passo 1

O enunciado define a região
R=(x,y)inR^2:|x|<=1,,-1<= y<2
Queremos esboçar essa região no plano, determinar sua fronteira e classificá-la em aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e conexo (C). Para isso vamos usar as definições de interior, adesão (fecho) e fronteira de um conjunto em R^2, além dos critérios padrão de abertura, fechamento, limitação, compacidade e conexão.

Passo 2

Geometricamente R é o “retângulo” com
-1<= x<=1 e -1<= y<2,
isto é, as duas retas verticais x=-1 e x=1 completas entre y=-1 e y=2, a reta horizontal inferior y=-1 para xin[-1,1], todas elas incluídas, e a reta horizontal superior y=2 para xin[-1,1], excluída. O esboço é um retângulo sólido por baixo e nas laterais, mas aberto na aresta de cima.

Passo 3

Para achar a fronteira partialR usamos
int(R)=(x,y):|x|<1,,-1<y<2,
R=(x,y):|x|<=1,,-1<= y<=2
Logo
partialR =R-int(R) =l,|x|=1,;-1<= y<=2r ;cup;l,|x|<=1,;y=-1 ou y=2r

Passo 4

  • Aberto? Não, pois pontos com y muito próximos de 2 não têm bola totalmente contida em R.
  • Fechado? Não, falta a aresta y=2.
  • Limitado? Sim, xin[-1,1] e yin[-1,2] mostram que R cabe num disco de raio finito.
  • Compacto? Em R^2 compacidade equivale a fechado + limitado; aqui não é fechado, logo não é compacto.
  • Conexo? Sim, é até convexo (segmento entre quaisquer dois pontos permanece em R).

Resposta

Fronteira:
partialR =(x,y):|x|=1,,-1<= y<=2 ;cup;(x,y):|x|<=1,;y=-1 ou y=2
Classificação: não aberto, não fechado, limitado, não compacto e conexo. Portanto vale apenas L (e C).

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