Esboce a região
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
Passo 1
O enunciado define a região
Queremos esboçar essa região no plano, determinar sua fronteira e classificá-la em aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e conexo (C). Para isso vamos usar as definições de interior, adesão (fecho) e fronteira de um conjunto em
, além dos critérios padrão de abertura, fechamento, limitação, compacidade e conexão.
Passo 2
Geometricamente
é o “retângulo” com
isto é, as duas retas verticais
e
completas entre
e
, a reta horizontal inferior
para
, todas elas incluídas, e a reta horizontal superior
para
, excluída. O esboço é um retângulo sólido por baixo e nas laterais, mas aberto na aresta de cima.
Passo 3
Para achar a fronteira
usamos
Logo
Passo 4
- Aberto? Não, pois pontos com
muito próximos dey não têm bola totalmente contida em2 .R - Fechado? Não, falta a aresta
.y=2 - Limitado? Sim,
exin[-1,1] mostram queyin[-1,2] cabe num disco de raio finito.R - Compacto? Em
compacidade equivale a fechadoR^2 limitado; aqui não é fechado, logo não é compacto.+ - Conexo? Sim, é até convexo (segmento entre quaisquer dois pontos permanece em
).R
Resposta
Fronteira:
Classificação: não aberto, não fechado, limitado, não compacto e conexo. Portanto vale apenas L (e C).