Q 98 Mostre que a reta tangente à reta f(x)=a x+b é ela mesmo, em qualquer ponto (xp, yp).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada a função linear f(x)=a x+b, a reta tangente a f em qualquer ponto l(xp,ypr) coincide com a própria reta definida por f. O conteúdo necessário é o conceito de derivada (para obter o coeficiente angular) e a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f para encontrar o coeficiente angular da tangente. Como f(x)=a x+b é uma reta, sua derivada é constante:
f'(x)=a
Portanto, em qualquer ponto xp, o coeficiente angular da tangente é m=f'(xp)=a.

Passo 3

A equação da reta tangente a f no ponto l(xp,ypr) é dada por
y - yp = f'(xp),(x - xp) ;Longrightarrow; y - yp = a,(x - xp)

Passo 4

Como yp = f(xp)=a,xp + b, substituímos em y - yp = a(x - xp):
y = yp + a(x - xp) = l(a xp + br) + a x - a xp = a x + b
Isso mostra que a equação da tangente é exatamente y = a x + b.

Resposta

A reta tangente à função f(x)=a x+b em qualquer ponto coincide com a própria reta y = a x + b.

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