Esboce a região
R do plano
R^2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
R=(x, y) in R^2 ;|x|+|y| <= 1

Passo 1

O enunciado define a região
R = (x,y)inR^2 mid |x| + |y| <= 1
Vamos esboçar essa região, encontrar sua fronteira e classificá-la em aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e conexo (C). O conteúdo envolve noções básicas de topologia em R^2: desigualdades, fronteira de conjuntos e propriedades de conjuntos (aberto, fechado, etc.).

Passo 2

Para esboçar R note que a equação |x| + |y| = 1 descreve um losango com vértices em (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1). A condição |x| + |y| <= 1 preenche todo o interior desse losango. Portanto, R é o losango preenchido, com lados alinhados a 45^circ em relação aos eixos.

Passo 3

A fronteira de R é o conjunto de pontos onde a desigualdade torna-se igualdade:
partial R = (x,y)inR^2 mid |x| + |y| = 1

Passo 4

Agora classificamos R:
  • Não é aberto, pois inclui pontos em que |x|+|y|=1.
  • É fechado, pois é o inverso de um conjunto aberto dado pela desigualdade estrita |x|+|y|<1.
  • É limitado, visto que Rsubseteq[-1,1]times[-1,1].
  • Em R^2, fechado e limitado implica ser compacto.
  • É convexo (e todo conjunto convexo em R^2 é conexo), logo é conexo.

Resposta

A fronteira de R é
(x,y)inR^2 mid |x| + |y| = 1
Classificação: F, L, K, C.

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