Esboce a região
do plano
dada abaixo e determine sua fronteira. Classifique
em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C).
Passo 1
O enunciado define a região
Vamos esboçar essa região, encontrar sua fronteira e classificá-la em aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e conexo (C). O conteúdo envolve noções básicas de topologia em : desigualdades, fronteira de conjuntos e propriedades de conjuntos (aberto, fechado, etc.).
Vamos esboçar essa região, encontrar sua fronteira e classificá-la em aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K) e conexo (C). O conteúdo envolve noções básicas de topologia em
Passo 2
Para esboçar
note que a equação
descreve um losango com vértices em
,
,
e
. A condição
preenche todo o interior desse losango. Portanto,
é o losango preenchido, com lados alinhados a
em relação aos eixos.
Passo 3
A fronteira de
é o conjunto de pontos onde a desigualdade torna-se igualdade:
Passo 4
Agora classificamos
:
- Não é aberto, pois inclui pontos em que
. - É fechado, pois é o inverso de um conjunto aberto dado pela desigualdade estrita
. - É limitado, visto que
. - Em
, fechado e limitado implica ser compacto. - É convexo (e todo conjunto convexo em
é conexo), logo é conexo.
Resposta
A fronteira de
é
Classificação: F, L, K, C.