Exercício 6 (D.L.6.11)
Mostre que uma órbita periódica de um campo de vetores definido em todo o plano R^2 encontra qualquer seção local em no máximo um ponto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se gamma é uma órbita periódica de um campo de vetores X definido em R^2 e S é uma seção local (isto é, um pequeno arco transversal a X num ponto pingamma), então gamma não pode cortar S em mais de um ponto. O conteúdo-chave aqui é o Lema de Retificação (ou Teorema da Caixa de Fluxo), que garante que, num entorno de p, o campo X pode ser “endireitado” para o campo constante partial/partial u.

Passo 2

Definimos seção local S em pingamma como um pequeno arco de curva C^1 que passa por p e é transversal a X, isto é, se tau é vetor tangente a S em p, então
lang<= X(p), taurang<= neq 0
Em particular, p não é ponto singular de X.

Passo 3

Pelo Lema de Retificação, existe uma vizinhança U de p e uma difeomorfismo
Phi:U;longrightarrow;VsubsetR^2
tal que Phi(p)=(0,0) e, nas coordenadas (u,v)=Phi(x,y), o campo X fica transformado no campo constante
dot u = 1, dot v = 0

Passo 4

Sob Phi, a seção Scap U torna-se um pequeno arco S' transversal ao campo partial/partial u. Mas as trajetórias de partial/partial u são as retas horizontais
v=const
Um arco transversal a essas retas é localmente algo como u=f(v), ou, acomodando uma escolha de coordenadas, pode ser tomado como um segmento vertical no plano (u,v). Cada reta horizontal intersecta esse segmento vertical num único ponto.

Passo 5

Retornando pelas coordenadas originais, o fato de em (u,v) cada linha horizontal cruzar o segmento vertical uma só vez implica que em U a órbita gamma só pode cortar S num único ponto. Como a seção é definida apenas dentro de U, não há outras interseções possíveis. Portanto a órbita periódica gamma encontra qualquer seção local S em no máximo um ponto.

Resposta

A órbita periódica intersecta qualquer seção local transversal em no máximo um ponto.

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