Exercício 6 (D.L.6.11)
Mostre que uma órbita periódica de um campo de vetores definido em todo o plano
encontra qualquer seção local em no máximo um ponto.
Mostre que uma órbita periódica de um campo de vetores definido em todo o plano
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma órbita periódica de um campo de vetores
definido em
e
é uma seção local (isto é, um pequeno arco transversal a
num ponto
), então
não pode cortar
em mais de um ponto. O conteúdo-chave aqui é o Lema de Retificação (ou Teorema da Caixa de Fluxo), que garante que, num entorno de
, o campo
pode ser “endireitado” para o campo constante
.
Passo 2
Definimos seção local
em
como um pequeno arco de curva
que passa por
e é transversal a
, isto é, se
é vetor tangente a
em
, então
Em particular,
não é ponto singular de
.
Passo 3
Pelo Lema de Retificação, existe uma vizinhança
de
e uma difeomorfismo
tal que
e, nas coordenadas
, o campo
fica transformado no campo constante
Passo 4
Sob
, a seção
torna-se um pequeno arco
transversal ao campo
. Mas as trajetórias de
são as retas horizontais
Um arco transversal a essas retas é localmente algo como
, ou, acomodando uma escolha de coordenadas, pode ser tomado como um segmento vertical no plano
. Cada reta horizontal intersecta esse segmento vertical num único ponto.
Passo 5
Retornando pelas coordenadas originais, o fato de em
cada linha horizontal cruzar o segmento vertical uma só vez implica que em
a órbita
só pode cortar
num único ponto. Como a seção é definida apenas dentro de
, não há outras interseções possíveis. Portanto a órbita periódica
encontra qualquer seção local
em no máximo um ponto.
Resposta
A órbita periódica intersecta qualquer seção local transversal em no máximo um ponto.