Exercício 5 (D.L.6.6)
Suponha que é um difeomorfismo que conjuga os campos de vetores e . Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que temos um difeomorfismo que conjuga os campos de vetor e . Em termos de fluxos, isso significa que, se é a solução de com condição inicial , e é a solução de com condição inicial , então para todo e todo vale
Precisamos mostrar que para todo
onde é o conjunto--limite de sob .
Passo 2
Definimos o conjunto--limite de por
Análogo para Lomega^g(h(x)). A chave é usar a conjugação para relacionar as órbitas de f e g.
Passo 3
Prova de h(Lomega^f(x))subseteq Lomega^g(h(x)).
Seja yin Lomega^f(x). Então existe sequência tkto+infty tal que
varphif(tk,x);longrightarrow;y
Aplicando h e usando a relação de conjugação conjunta à continuidade de h, obtemos
Para a inclusão inversa usamos h^-1, que também é difeomorfismo e inverte a conjugação. Aplicando o mesmo argumento trocando frightarrow g e hrightarrow h^-1, segue
Lomega^gl(h(x)r) subseteq hl(Lomega^f(x)r)
Juntando as duas inclusões, concluímos a igualdade desejada.