Exercício 5 (D.L.6.6)
Suponha que h: E F é um difeomorfismo que conjuga os campos de vetores f: E R^n e g: F R^n. Mostre que
h(Lomega^f(x))=Lomega^g(h(x))

Passo 1

O enunciado diz que temos um difeomorfismo hcolon Eto F que conjuga os campos de vetor fcolon EtoR^n e gcolon FtoR^n. Em termos de fluxos, isso significa que, se varphif(t,x) é a solução de dot x=f(x) com condição inicial x, e varphig(t,y) é a solução de dot y=g(y) com condição inicial y, então para todo tinR e todo xin E vale
hl(varphif(t,x)r);=;varphigl(t,h(x)r)
Precisamos mostrar que para todo xin E
hl(Lomega^f(x)r) ;=; Lomega^gl(h(x)r),
onde Lomega^f(x) é o conjunto- omega-limite de x sob f.

Passo 2

Definimos o conjunto- omega-limite de x por
Lomega^f(x) = l,yin E ;m|;exists,tkto +infty:;varphif(tk,x)to yr
Análogo para Lomega^g(h(x)). A chave é usar a conjugação para relacionar as órbitas de f e g.

Passo 3

Prova de h(Lomega^f(x))subseteq Lomega^g(h(x)).
Seja yin Lomega^f(x). Então existe sequência tkto+infty tal que
varphif(tk,x);longrightarrow;y
Aplicando h e usando a relação de conjugação conjunta à continuidade de h, obtemos
varphigl(tk,h(x)r) = hl(varphif(tk,x)r) ;longrightarrow; h(y)
Isso mostra h(y)in Lomega^g(h(x)) e, portanto,
hl(Lomega^f(x)r) subseteq Lomega^gl(h(x)r)

Passo 4

Para a inclusão inversa usamos h^-1, que também é difeomorfismo e inverte a conjugação. Aplicando o mesmo argumento trocando frightarrow g e hrightarrow h^-1, segue
Lomega^gl(h(x)r) subseteq hl(Lomega^f(x)r)
Juntando as duas inclusões, concluímos a igualdade desejada.

Resposta

hl(Lomega^f(x)r) ;=; Lomega^gl(h(x)r)

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