Exercício 4 (D.L.6.5)
Se f: E R^n é um campo gradiente, então cada ponto z in Lomega(x) no conjunto omega-limite de qualquer x in E é um ponto de equilíbrio de f. (Sugestão: Prove por contraposição que pontos regulares de f não podem ser pontos omega-limite, usando o método da prova do Teorema de Liapunov II, tal como demonstrado no livro do Lopes e Doering).

Passo 1

O enunciado considera o sistema autônomo
dot x = f(x),
onde fcolon EtoR^n é um campo gradiente, ou seja, existe phiin C^1(E) tal que
nablaphi(x)=f(x)
Queremos mostrar que se zin Lomega(x) (conjunto omega-limite da solução que parte de x), então z é ponto de equilíbrio, isto é, f(z)=0. A estratégia será provar por contraposição: assumir f(z)neq0 e construir uma função de Liapunov local que impeça z de ser omega-limite, seguindo o método do Teorema de Liapunov II.

Passo 2

Suponha, para fins de contradição, que exista zin Lomega(x) com
|f(z)|>0
Como f é gradiente, definimos a potencial
phicolon EtoR, nablaphi(x)=f(x)
Logo phiin C^1 e |f(z)|>0 diz que z é um ponto regular.

Passo 3

Se x(t) é a solução que passa por x(0)=x, calculemos a derivada de phi ao longo de x(t):
ddt,phil(x(t)r) = nablaphil(x(t)r)cdot dot x(t) = fl(x(t)r)cdot fl(x(t)r) = l|fl(x(t)r)r|^2

Passo 4

Pela continuidade de f e |f(z)|>0, existe uma vizinhança aberta U de z e constante m>0 tais que
forall,yin U: |f(y)|>= m
Então, sempre que x(t)in U,
ddt,phil(x(t)r);=;|f(x(t))|^2;>=;m^2>0
Isto mostra que, em cada visita da trajetória a U, o valor de phi aumenta com taxa mínima m^2.

Passo 5

Se z fosse realmente um ponto omega-limite, a trajetória x(t) retornaria infinitas vezes a U para tempos arbitrariamente grandes. Mas a cada incursão em U, phi(x(t)) cresceria em pelo menos m^2 por unidade de tempo, forçando phi a ficar não limitada acima em overline U. Isso é absurdo, pois phi é contínua e, portanto, limitada em overline U. Concluímos que não pode haver zin Lomega(x) com f(z)neq0.

Resposta

Todo ponto zin Lomega(x) deve satisfazer f(z)=0. Em outras palavras, cada ponto do conjunto omega-limite é ponto de equilíbrio de f.

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