Exercício 4 (D.L.6.5)
Se é um campo gradiente, então cada ponto no conjunto -limite de qualquer é um ponto de equilíbrio de . (Sugestão: Prove por contraposição que pontos regulares de não podem ser pontos -limite, usando o método da prova do Teorema de Liapunov II, tal como demonstrado no livro do Lopes e Doering).
Passo 1
O enunciado considera o sistema autônomo
onde é um campo gradiente, ou seja, existe tal que
Queremos mostrar que se (conjunto -limite da solução que parte de ), então é ponto de equilíbrio, isto é, . A estratégia será provar por contraposição: assumir e construir uma função de Liapunov local que impeça de ser -limite, seguindo o método do Teorema de Liapunov II.
Passo 2
Suponha, para fins de contradição, que exista com
Como é gradiente, definimos a potencial
Logo e diz que é um ponto regular.
Passo 3
Se é a solução que passa por , calculemos a derivada de ao longo de :
Passo 4
Pela continuidade de f e |f(z)|>0, existe uma vizinhança aberta U de z e constante m>0 tais que
forall,yin U: |f(y)|>= m
Então, sempre que x(t)in U,
ddt,phil(x(t)r);=;|f(x(t))|^2;>=;m^2>0
Isto mostra que, em cada visita da trajetória a U, o valor de phi aumenta com taxa mínima m^2.
Passo 5
Se z fosse realmente um ponto omega-limite, a trajetória x(t) retornaria infinitas vezes a U para tempos arbitrariamente grandes. Mas a cada incursão em U, phi(x(t)) cresceria em pelo menos m^2 por unidade de tempo, forçando phi a ficar não limitada acima em overline U. Isso é absurdo, pois phi é contínua e, portanto, limitada em overline U. Concluímos que não pode haver zin Lomega(x) com f(z)neq0.
Resposta
Todo ponto zin Lomega(x) deve satisfazer f(z)=0. Em outras palavras, cada ponto do conjunto omega-limite é ponto de equilíbrio de f.