Esboce (rusticamente) os gráficos de:
Passo 1
O enunciado pede para fazermos um esboço rústico do gráfico da função f(x)=sin x/x. O conteúdo envolve análise de domínio, limite em x→0, zeros, comportamento para |x| grandes e formato geral de oscilações amortecidas.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio natural de f: como há divisão por x, temos x≠0. Porém, usamos o limite
e estendemos a definição por continuidade definindo f(0)=1.
Passo 3
A função f é par, pois sin(–x)/(–x)=sin x/x. Então o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
Passo 4
Os zeros ocorrem sempre que sin x=0 e x≠0, ou seja em x=kπ, com k∈ℤ
e k≠0. Nessas abscissas o gráfico cruza o eixo x.
e k≠0. Nessas abscissas o gráfico cruza o eixo x.
Passo 5
Para |x|→∞ vale
o que indica que as oscilações giram em torno de y=0 com amplitude decrescente.
Passo 6
Entre cada par de zeros temos um lobo: o maior é o lobo central que atinge f(0)=1. Logo em seguida aparecem lobos positivos e negativos cuja altura e profundidade diminuem conforme |x| cresce.
Passo 7
Para esboçar, trace o ponto (0,1), marque os nós em x=±π,±2π,… e desenhe oscilações suaves entre eles, lembrando que a amplitude decai como 1/|x|. A forma geral destaca um pico central e “espirais” horizontais de amplitudes cada vez menores.
Passo 8
Pronto! Com essas informações basta unir os pontos de forma contínua e simétrica, mostrando o pico em x=0 e as oscilações amortecidas decrescendo para zero.
Resposta
O gráfico é a clássica função sinc: um pico em (0,1) e, a partir daí, oscilações positivas e negativas atravessando os eixos em x=kπ, com amplitude decrescente quando |x| cresce, aproximando-se de y=0 nas extremidades.