Esboce o seguinte conjunto e o classifique em aberto e/ou fechado e/ou nenhum dos dois:
D=(x, y) in R^2 mid c^2 e^x <= e^4

Passo 1

O enunciado define o conjunto em , ou seja, estamos num exercício de análise de conjuntos em usando desigualdade envolvendo exponencial. Vamos precisar usar propriedades do exponencial e noções de conjunto pré-imagem de função contínua.

Passo 2

Isolamos a variável na desigualdade . Primeiro, divido ambos os lados por e obtêm-se . Aplicando log natural em ambos os lados resulta em .

Passo 3

Concluímos que . Esse é um semiplano vertical, ilimitado na direção e limitado pela reta vertical . No esboço, traçamos essa reta e sombrear a região à esquerda (incluindo a própria reta).

Passo 4

Para a classificação em aberto/fechado note que a função é contínua em e . Como é fechado em , sua pré-imagem pelo contínuo também é fechada. Além disso, contém sua fronteira , logo não é aberto.

Resposta

D é o semiplano fechado dado por x ≤ 4 − ln(c²). Portanto, D é fechado e não é aberto.

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