Esboce os seguintes campos Vetoriais:
F(x, y)=(0, y)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o campo vetorial dado por
F(x,y)=(0,y).
Informações fornecidas (tudo que temos do enunciado):
  • O vetor em cada ponto (x,y) tem componente horizontal 0 e componente vertical y.
  • O domínio implícito é o plano inteiro \mathbb{R}^2.
  • A única tarefa: desenhar (esboçar) esse campo vetorial no plano.

Passo 2

Entendendo o que significa cada componente do vetor:
  • A componente horizontal é 0. Isso quer dizer que, em qualquer ponto, o vetor não tem direção para a esquerda ou para a direita: é puramente vertical.
  • A componente vertical é y. Isso quer dizer que a intensidade (e o sentido) da componente vertical depende somente da coordenada y do ponto onde o vetor é avaliado, e não depende de x.
Explicando de forma simples: em todo ponto (x,y) o vetor aponta para cima se y>0, aponta para baixo se y<0, e é o vetor nulo se y=0.

Passo 3

Calcule a magnitude e o sentido em pontos típicos para ter referência ao desenhar:
  • Magnitude do vetor: \lVert F(x,y)\rVert = \lvert y\rvert, porque \lVert(0,y)\rVert=\sqrt{0^2+y^2}=\lvert y\rvert.
  • Exemplos concretos (peguei estes valores simplesmente para orientar o esboço):
    • Em (0,0): F(0,0)=(0,0) (vetor nulo).
    • Em (1,1) ou em (-2,1): F=(0,1) — vetor vertical unitário para cima.
    • Em (0,2): F=(0,2) — vetor vertical para cima com comprimento duas vezes maior do que em y=1.
    • Em (3,-1): F=(0,-1) — vetor vertical para baixo de comprimento 1.
    • Em (x, -2) para qualquer x: F=(0,-2) — vertical para baixo com comprimento 2.
Use esses valores no papel: em cada ponto com mesma altura y desenhe vetores idênticos (mesmo comprimento e mesmo sentido).

Passo 4

Como montar o esboço passo a passo (o que fazer no rascunho da prova):
  1. Trace uma grade simples de pontos, por exemplo com x=-2,-1,0,1,2 e y=-2,-1,0,1,2.
  2. Para cada ponto na linha y=2 desenhe um segmento vertical para cima de comprimento proporcional a 2.
  3. Para cada ponto na linha y=1 desenhe um segmento vertical para cima de comprimento proporcional a 1 (menor que o de y=2).
  4. Para cada ponto na linha y=0 desenhe um ponto (ou nenhum segmento): ali o vetor é nulo.
  5. Para cada ponto na linha y=-1 desenhe um segmento vertical para baixo de comprimento proporcional a 1.
  6. Para cada ponto na linha y=-2 desenhe um segmento vertical para baixo de comprimento proporcional a 2.
Observação prática: como os vetores não dependem de x, todas as setas numa mesma linha horizontal (mesmo y) são iguais. Isso facilita o desenho: basta desenhar uma fila de setas idênticas em cada linha horizontal.

Passo 5

Interpretação geométrica e dinâmica (para ajudar a entender o campo durante a prova):
  • Linhas de fluxo/traetórias do campo: resolvendo o sistema \dot x=0,\\ \dot y=y (isto é, seguir o campo como um fluxo), obtém-se x(t)= constante e y(t)=y_0 e^{t}. Portanto as trajetórias são retas verticais (cada x fixo) e o movimento ao longo delas é exponencial no sentido do sinal de y_0.
  • O eixo x (linha y=0) é a linha onde os vetores são nulos.
  • O campo é conservativo (gradiente de um potencial): existe \varphi tal que \nabla\varphi=(0,y). Uma escolha é \varphi(x,y)=\tfrac{1}{2}y^2,porque \partial\varphi/\partial x=0 e \partial\varphi/\partial y=y. Isso não é necessário para o esboço, mas ajuda a interpretar: as curvas de nível de \varphi são horizontais ( y= const), e o campo aponta perpendicularmente a essas curvas (verticalmente).

Passo 6

Dicas visuais rápidas para um esboço limpo em prova:
  • Marque várias linhas horizontais com valores y diferentes; em cada linha desenhe setas verticais iguais.
  • Indique claramente que setas acima do eixo x apontam para cima e aumentam de comprimento conforme a linha for mais alta; abaixo do eixo x apontam para baixo e aumentam de comprimento conforme y fica mais negativo.
  • Desenhe o vetor nulo na linha y=0 (pode ser apenas um ponto ou um pequeno círculo) para mostrar o contraste.

Resposta

O campo vetorial tem apenas componente vertical: em cada ponto (x,y) o vetor é (0,y).
As setas são verticais, apontam para cima quando y>0 e para baixo quando y<0; o comprimento da seta é \lvert y\rvert.
Ao longo da reta y=0 os vetores são nulos.

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