Esboce os seguintes campos Vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o campo vetorial dado por
Informações fornecidas (tudo que temos do enunciado):
- O vetor em cada ponto
tem componente horizontal e componente vertical . - O domínio implícito é o plano inteiro
. - A única tarefa: desenhar (esboçar) esse campo vetorial no plano.
Passo 2
Entendendo o que significa cada componente do vetor:
- A componente horizontal é
. Isso quer dizer que, em qualquer ponto, o vetor não tem direção para a esquerda ou para a direita: é puramente vertical. - A componente vertical é
. Isso quer dizer que a intensidade (e o sentido) da componente vertical depende somente da coordenada do ponto onde o vetor é avaliado, e não depende de .
Explicando de forma simples: em todo ponto
o vetor aponta para cima se
, aponta para baixo se
, e é o vetor nulo se
.
Passo 3
Calcule a magnitude e o sentido em pontos típicos para ter referência ao desenhar:
- Magnitude do vetor:
, porque . - Exemplos concretos (peguei estes valores simplesmente para orientar o esboço):
- Em
: (vetor nulo). - Em
ou em : — vetor vertical unitário para cima. - Em
: — vetor vertical para cima com comprimento duas vezes maior do que em . - Em
: — vetor vertical para baixo de comprimento . - Em
para qualquer : — vertical para baixo com comprimento .
- Em
Use esses valores no papel: em cada ponto com mesma altura
desenhe vetores idênticos (mesmo comprimento e mesmo sentido).
Passo 4
Como montar o esboço passo a passo (o que fazer no rascunho da prova):
- Trace uma grade simples de pontos, por exemplo com
e . - Para cada ponto na linha
desenhe um segmento vertical para cima de comprimento proporcional a . - Para cada ponto na linha
desenhe um segmento vertical para cima de comprimento proporcional a (menor que o de ). - Para cada ponto na linha
desenhe um ponto (ou nenhum segmento): ali o vetor é nulo. - Para cada ponto na linha
desenhe um segmento vertical para baixo de comprimento proporcional a . - Para cada ponto na linha
desenhe um segmento vertical para baixo de comprimento proporcional a .
Observação prática: como os vetores não dependem de
, todas as setas numa mesma linha horizontal (mesmo
) são iguais. Isso facilita o desenho: basta desenhar uma fila de setas idênticas em cada linha horizontal.
Passo 5
Interpretação geométrica e dinâmica (para ajudar a entender o campo durante a prova):
- Linhas de fluxo/traetórias do campo: resolvendo o sistema
(isto é, seguir o campo como um fluxo), obtém-se constante e . Portanto as trajetórias são retas verticais (cada fixo) e o movimento ao longo delas é exponencial no sentido do sinal de . - O eixo
(linha ) é a linha onde os vetores são nulos. - O campo é conservativo (gradiente de um potencial): existe
tal que . Uma escolha é porque e . Isso não é necessário para o esboço, mas ajuda a interpretar: as curvas de nível de são horizontais ( const), e o campo aponta perpendicularmente a essas curvas (verticalmente).
Passo 6
Dicas visuais rápidas para um esboço limpo em prova:
- Marque várias linhas horizontais com valores
diferentes; em cada linha desenhe setas verticais iguais. - Indique claramente que setas acima do eixo
apontam para cima e aumentam de comprimento conforme a linha for mais alta; abaixo do eixo apontam para baixo e aumentam de comprimento conforme fica mais negativo. - Desenhe o vetor nulo na linha
(pode ser apenas um ponto ou um pequeno círculo) para mostrar o contraste.
Resposta
O campo vetorial tem apenas componente vertical: em cada ponto
o vetor é
.
As setas são verticais, apontam para cima quando e para baixo quando
; o comprimento da seta é
.
Ao longo da reta os vetores são nulos.
As setas são verticais, apontam para cima quando
Ao longo da reta