Esboce os seguintes campos Vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o campo vetorial dado por
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A fórmula do campo vetorial é
. - Não há outras restrições (domínio é todo
).
Passo 2
Interpretação básica do que
representa em termos geométricos.
Defina o vetor posição . Então podemos escrever o campo como
Defina o vetor posição
Isso já diz muito: em cada ponto o vetor do campo é exatamente o negativo do vetor posição — aponta na direção contrária ao ponto em relação à origem.
Passo 3
Direção dos vetores: apontam radialmente para a origem.
Explicação didática: o vetor posição aponta do ponto
para
. O campo
é
, então aponta da posição
na direção de
. Logo todos os vetores são colineares com a reta que liga o ponto à origem e apontam para a origem.
Explicação didática: o vetor posição
Passo 4
Módulo dos vetores: cresce com a distância ao centro.
Calcule o módulo:
Calcule o módulo:
Portanto, o comprimento do vetor do campo em
é igual à distância do ponto à origem. Conclusão prática: quanto mais longe do centro, maior a seta; no centro, vetor nulo.
Passo 5
Exemplos numéricos para usar no esboço (faça estes pontos no rascunho e desenhe as setas correspondentes).
- Em
: — seta unitária apontando para a esquerda. - Em
: — seta unitária apontando para baixo. - Em
: — seta unitária apontando para a direita. - Em
: — seta unitária apontando para cima. - Em
: — seta apontando para a origem com comprimento . - Em
: — seta duas vezes maior que em , apontando para a esquerda.
Use esses vetores para guiar o esboço: desenhe o eixoe , marque pontos em círculo(s) (ex.: raio e ) e desenhe as setas radiais apontando para o centro com comprimentos proporcionais às distâncias.
Passo 6
Como ficam as linhas de fluxo (linhas integrais) — derivação passo a passo.
As linhas de fluxo satisfazem o sistema de equações ordinárias
As linhas de fluxo satisfazem o sistema de equações ordinárias
pois o campo dá a velocidade em cada ponto. Resolva cada equação separadamente (são equações lineares simples de primeira ordem):
onde
são as coordenadas iniciais (valores em
). Portanto as curvas paramétricas das linhas de fluxo são
Passo 7
Interpretação das linhas de fluxo: são raios que vão para a origem com decaimento exponencial.
Porque ambas coordenadas têm o mesmo fator , a razão
permanece constante ao longo da curva, logo a trajetória é uma reta que passa pela origem e pelo ponto inicial. O fator
só comprime o ponto em direção à origem quando
aumenta. Em palavras: as linhas integrais são segmentos de reta radiais (mesma direção do vetor posição) e o movimento segue essas retas rumo à origem — isto é, a origem é um ponto de atração (sink).
Porque ambas coordenadas têm o mesmo fator
Passo 8
Cálculo da divergência e do rotor (para interpretar compressão/rotação do campo).
O campo tem componentes e
. Então:
O campo tem componentes
O rotor (componente escalar em 2D) é
Interpretação: divergência negativa uniforme
significa que o campo tem compressão (convergência) em todos os pontos — fluxo está sendo “sugado” para a origem. Rotor zero significa que não há giro local: o campo não cria rotação, é puramente radial.
Passo 9
Comportamento no ponto crítico (origem).
Em o campo vale
. A origem é um ponto de equilíbrio estável (atrator): todas as trajetórias dirigem-se para ele conforme visto nas soluções exponenciais. Em teoria de sistemas lineares, a matriz jacobiana é
(identidade com sinais invertidos), com autovalores
reais negativos — portanto ponto crítico é um nó assimptoticamente estável.
Em
Passo 10
Passo a passo prático para esboçar no papel durante a prova (sem régua complexa):
- Desenhe os eixos
e e marque alguns círculos concêntricos (ex.: raios e ). - Em pontos do círculo de raio
desenhe vetores unitários dirigidos para o centro (usar exemplos do Passo 5). - Em pontos mais distantes (raio
) desenhe vetores com comprimento dobro dos do raio . - Em várias direções (ângulos diferentes) faça o mesmo — o padrão será sempre setas apontando radialmente para dentro, com comprimento proporcional ao raio.
- Opcional: trace algumas retas radiais e, sobre cada reta, desenhe setas ao longo dela apontando para o centro para indicar as linhas de fluxo.
Passo 11
Dicas finais e pequenos exemplos relacionados para fixar:
- Se o campo fosse
com , o comportamento seria o mesmo, só mudaria a velocidade de atração (autovalores ). - Se tivesse
(sinal trocado), então seria um repulsor: vetores radiais apontando para fora e divergência .
Resposta
Campo radial apontando para a origem com módulo
; linhas integrais são retas radiais dadas por
(atração exponencial ao centro); divergência
; rotor
.