Esboce os seguintes campos Vetoriais:
F(x, y)=(-x,-y)

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o campo vetorial dado por F(x,y)=(-x,-y).
Informações fornecidas:
  • A fórmula do campo vetorial é F(x,y)=(-x,-y).
  • Não há outras restrições (domínio é todo \mathbb{R}^2).

Passo 2

Interpretação básica do que F(x,y)=(-x,-y) representa em termos geométricos.
Defina o vetor posição \mathbf{r}=(x,y). Então podemos escrever o campo como
F(x,y) = -\mathbf{r} = -(x,y) = (-x,-y).
Isso já diz muito: em cada ponto o vetor do campo é exatamente o negativo do vetor posição — aponta na direção contrária ao ponto em relação à origem.

Passo 3

Direção dos vetores: apontam radialmente para a origem.
Explicação didática: o vetor posição \mathbf{r} aponta do ponto (0,0) para (x,y). O campo F é -\mathbf{r}, então aponta da posição (x,y) na direção de (0,0). Logo todos os vetores são colineares com a reta que liga o ponto à origem e apontam para a origem.

Passo 4

Módulo dos vetores: cresce com a distância ao centro.
Calcule o módulo:
\|F(x,y)\| = \sqrt{(-x)^2+(-y)^2} = \sqrt{x^2+y^2} = \|\mathbf{r}\|.
Portanto, o comprimento do vetor do campo em (x,y) é igual à distância do ponto à origem. Conclusão prática: quanto mais longe do centro, maior a seta; no centro, vetor nulo.

Passo 5

Exemplos numéricos para usar no esboço (faça estes pontos no rascunho e desenhe as setas correspondentes).
  • Em (1,0): F(1,0)=(-1,0) — seta unitária apontando para a esquerda.
  • Em (0,1): F(0,1)=(0,-1) — seta unitária apontando para baixo.
  • Em (-1,0): F(-1,0)=(1,0) — seta unitária apontando para a direita.
  • Em (0,-1): F(0,-1)=(0,1) — seta unitária apontando para cima.
  • Em (1,1): F(1,1)=(-1,-1) — seta apontando para a origem com comprimento \sqrt{2}.
  • Em (2,0): F(2,0)=(-2,0) — seta duas vezes maior que em (1,0), apontando para a esquerda.
    Use esses vetores para guiar o esboço: desenhe o eixo x e y, marque pontos em círculo(s) (ex.: raio 1 e 2) e desenhe as setas radiais apontando para o centro com comprimentos proporcionais às distâncias.

Passo 6

Como ficam as linhas de fluxo (linhas integrais) — derivação passo a passo.
As linhas de fluxo satisfazem o sistema de equações ordinárias
\frac{dx}{dt} = -x,\qquad \frac{dy}{dt} = -y,
pois o campo dá a velocidade em cada ponto. Resolva cada equação separadamente (são equações lineares simples de primeira ordem):
\frac{dx}{dt}=-x \Rightarrow x(t)=x_0 e^{-t},
\frac{dy}{dt}=-y \Rightarrow y(t)=y_0 e^{-t},
onde x_0,y_0 são as coordenadas iniciais (valores em t=0). Portanto as curvas paramétricas das linhas de fluxo são
(x(t),y(t))=(x_0 e^{-t},\,y_0 e^{-t}).

Passo 7

Interpretação das linhas de fluxo: são raios que vão para a origem com decaimento exponencial.
Porque ambas coordenadas têm o mesmo fator e^{-t}, a razão y/x permanece constante ao longo da curva, logo a trajetória é uma reta que passa pela origem e pelo ponto inicial. O fator e^{-t} só comprime o ponto em direção à origem quando t aumenta. Em palavras: as linhas integrais são segmentos de reta radiais (mesma direção do vetor posição) e o movimento segue essas retas rumo à origem — isto é, a origem é um ponto de atração (sink).

Passo 8

Cálculo da divergência e do rotor (para interpretar compressão/rotação do campo).
O campo tem componentes F_1(x,y)=-x e F_2(x,y)=-y. Então:
\nabla\cdot F = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} = -1 + (-1) = -2.
O rotor (componente escalar em 2D) é
\left(\nabla\times F\right)_z = \frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y} = 0 - 0 = 0.
Interpretação: divergência negativa uniforme -2 significa que o campo tem compressão (convergência) em todos os pontos — fluxo está sendo “sugado” para a origem. Rotor zero significa que não há giro local: o campo não cria rotação, é puramente radial.

Passo 9

Comportamento no ponto crítico (origem).
Em (0,0) o campo vale F(0,0)=(0,0). A origem é um ponto de equilíbrio estável (atrator): todas as trajetórias dirigem-se para ele conforme visto nas soluções exponenciais. Em teoria de sistemas lineares, a matriz jacobiana é -I (identidade com sinais invertidos), com autovalores -1,-1 reais negativos — portanto ponto crítico é um nó assimptoticamente estável.

Passo 10

Passo a passo prático para esboçar no papel durante a prova (sem régua complexa):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque alguns círculos concêntricos (ex.: raios 1 e 2).
  2. Em pontos do círculo de raio 1 desenhe vetores unitários dirigidos para o centro (usar exemplos do Passo 5).
  3. Em pontos mais distantes (raio 2) desenhe vetores com comprimento dobro dos do raio 1.
  4. Em várias direções (ângulos diferentes) faça o mesmo — o padrão será sempre setas apontando radialmente para dentro, com comprimento proporcional ao raio.
  5. Opcional: trace algumas retas radiais e, sobre cada reta, desenhe setas ao longo dela apontando para o centro para indicar as linhas de fluxo.

Passo 11

Dicas finais e pequenos exemplos relacionados para fixar:
  • Se o campo fosse F(x,y) = -k(x,y) com k>0, o comportamento seria o mesmo, só mudaria a velocidade de atração (autovalores -k).
  • Se tivesse F(x,y)=(x,y) (sinal trocado), então seria um repulsor: vetores radiais apontando para fora e divergência +2.

Resposta

Campo radial apontando para a origem com módulo \|F(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2}; linhas integrais são retas radiais dadas por (x(t),y(t))=(x_0 e^{-t},y_0 e^{-t}) (atração exponencial ao centro); divergência \nabla\cdot F=-2; rotor 0.

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