Esboce os seguintes conjuntos definidos implicitamente pela função
dada.
.
Passo 1
Resumindo, o enunciado pede para esboçar o conjunto de nível
onde
.
O conteúdo envolvido é geometria analítica de curvas de nível (cônicas) e, neste caso, vamos reconhecer e desenhar uma elipse. Para isso, precisamos colocar a equação na forma canônica da elipse.
onde
O conteúdo envolvido é geometria analítica de curvas de nível (cônicas) e, neste caso, vamos reconhecer e desenhar uma elipse. Para isso, precisamos colocar a equação na forma canônica da elipse.
Passo 2
Dividimos ambos os lados de
por , obtendo
por
ou seja
Passo 3
A equação
é a forma padrão de uma elipse centrada em com semieixo maior
é a forma padrão de uma elipse centrada em
no eixo
e semieixo menor
no eixo
.
Passo 4
Para esboçar a elipse, marcamos os interceptos com os eixos:
quando temos
, logo
;
quando temos
, logo
.
Isso gera os pontos
,
,
e
.
quando
quando
Isso gera os pontos
Passo 5
Ligando esses quatro pontos por uma curva suave e oval, simétrica em relação aos eixos
e
, obtemos o esboço da elipse. Opcionalmente, podemos usar a parametrização
para visualizar todos os pontos conforme varia de
a
.
para visualizar todos os pontos conforme
Resposta
O conjunto
é uma elipse centrada na origem com semieixo horizontal
e semieixo vertical
, interceptando os eixos nos pontos
e
.