Exercício 16. (Apostol, capítulo 7.12, exercícios 1 a 5, 8 a 10) Calcule e^t A nos seguintes casos:
A=(ll1 & 0 1 & 1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular exp(tA) onde
A = 1 & 0 1 & 1
O conteúdo aqui é exponencial de matriz. Vamos usar a série de Taylor
exp(tA) = sumk=0^infty(tA)^kk!
e explorar uma decomposição que torne essa soma fácil de calcular.

Passo 2

Note que podemos escrever
A = I + N,
onde
I = 1 & 0 0 & 1, N = 0 & 0 1 & 0
Verifique que
N^2 = 0 & 0 1 & 0^2 = 0 & 0 0 & 0
Ou seja, N é nilpotente de ordem 2.

Passo 3

Como I e N comutam ( IN = NI), temos
expl(tAr) = expl(t(I+N)r) = exp(tI),exp(tN)

Passo 4

Calcule separadamente cada exponencial:
1.
exp(tI) = sumk=0^infty(tI)^kk! = sumk=0^inftyt^kk!I = e^t,I
2.
exp(tN) = sumk=0^infty(tN)^kk! = I + tN + t^22!N^2 + cdots = I + tN,
pois N^2=0 anula todos os termos de ordem maior que 1.
Multiplicando,
exp(tA) = e^t,I;l(I + tNr) = e^tl(I + tNr)

Resposta

exp(tA) = e^t 1 & 0 t & 1

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