Exercício 16. (Apostol, capítulo 7.12, exercícios 1 a 5, 8 a 10) Calcule e^t A nos seguintes casos:
A=(ll1 & 0 1 & 2).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a exponencial de matriz
e^tA
onde
A = 1 & 0 [6pt]1 & 2
O conteúdo envolvido é a definição de exponencial de matriz via diagonalização. Como A é triangular com autovalores distintos, podemos diagonalizá-la e usar
e^tA = P,e^tD,P^-1
]

Passo 2

Calcular os autovalores de A. Como A é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal:
lambda1 = 1, lambda2 = 2

Passo 3

Determinar os autovetores associados.
Para , resolvemos
Um autovetor é
Para , resolvemos
Um autovetor é
]

Passo 4

Construir a matriz de passagem P e a diagonal D, e calcular P^-1.
P = v1 & v2 = 1 & 0 [2pt]-1 & 1, D = 1 & 0 [2pt]0 & 2
O inverso de P é
P^-1 = 1 & 0 [2pt]1 & 1
]

Passo 5

Calcular e^tD. Como D é diagonal, basta expor cada entrada:
e^tD = e^tcdot1 & 0 [2pt]0 & e^tcdot2 = e^t & 0 [2pt]0 & e^2t
]

Passo 6

Montar
e^tA = P,e^tD,P^-1
Primeiro
P,e^tD = 1 & 0 [2pt]-1 & 1 e^t & 0 [2pt]0 & e^2t = e^t & 0 [2pt]-e^t & e^2t
Em seguida
e^tA = e^t & 0 [2pt]-e^t & e^2t 1 & 0 [2pt]1 & 1 = e^tcdot1 + 0cdot1 & e^tcdot0 + 0cdot1 [4pt] -,e^tcdot1 + e^2tcdot1 & -,e^tcdot0 + e^2tcdot1 = e^t & 0 [4pt] e^2t - e^t & e^2t
]

Resposta

e^tA = e^t & 0 [6pt] e^2t - e^t & e^2t ]

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