Exercício 16. (Apostol, capítulo 7.12, exercícios 1 a 5, 8 a 10) Calcule nos seguintes casos: .
Passo 1
O enunciado pede para calcular a exponencial de matriz
e^tA
onde
A = 1 & 0 [6pt]1 & 2
O conteúdo envolvido é a definição de exponencial de matriz via diagonalização. Como A é triangular com autovalores distintos, podemos diagonalizá-la e usar
e^tA = P,e^tD,P^-1
]
Passo 2
Calcular os autovalores de A. Como A é triangular, seus autovalores são os elementos da diagonal:
lambda1 = 1, lambda2 = 2
Passo 3
Determinar os autovetores associados.
Para , resolvemos
Um autovetor é
Para , resolvemos
Um autovetor é
]
Passo 4
Construir a matriz de passagem P e a diagonal D, e calcular P^-1.
P = v1 & v2 = 1 & 0 [2pt]-1 & 1, D = 1 & 0 [2pt]0 & 2
O inverso de P é
P^-1 = 1 & 0 [2pt]1 & 1
]
Passo 5
Calcular e^tD. Como D é diagonal, basta expor cada entrada: