Esboce os seguintes conjuntos no plano complexo:
z in C:|z-1|=|z+1|.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o conjunto de pontos zinC que satisfazem a condição de igualdade de distâncias a 1 e a -1. O conteúdo principal é geometria analítica no plano complexo, usando a representação z=x+iy e a interpretação de módulo como distância no plano.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy com x,yinR e traduzimos a condição em coordenadas reais:
|z-1|^2 = (x-1)^2 + y^2,
|z+1|^2 = (x+1)^2 + y^2
A igualdade |z-1| = |z+1| equivale a
(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2 + y^2

Passo 3

Expandindo ambos os lados e simplificando termos iguais:
(x^2 - 2x + 1) + y^2 = (x^2 + 2x + 1) + y^2
cancela-se x^2, y^2 e 1, restando
-2x = 2x Longrightarrow 4x = 0 Longrightarrow x = 0

Passo 4

A condição x=0 descreve a reta vertical que passa pela origem no plano xy. Geometricamente, é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de 1 e de -1, isto é, o eixo imaginário.

Resposta

O conjunto é a reta de equação Re(z)=0, isto é, o eixo imaginário do plano complexo.

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