Dê o nome e faça um esboço das superfícies dadas pelas equações abaixo.
4 z^2-x^2-y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado pede para dar o nome e fazer um esboço da superfície definida pela equação . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo de superfícies quadráticas. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e esboçar esse tipo de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de superfície. A equação geral de uma superfície quadrática pode ser comparada com formas conhecidas. Aqui, temos . Observamos que os termos quadráticos têm sinais diferentes: dois estão negativos e um está positivo.

Passo 3

Quando temos dois termos negativos e um positivo numa equação quadrática, isso geralmente representa um hiperbolóide de uma folha ou de duas folhas, ou um cone. Para decidir qual, olhamos para o lado direito da equação. Se for igual a 1, como aqui, é um hiperbolóide de uma folha.

Passo 4

Agora, vamos visualizar o esboço. Um hiperbolóide de uma folha se parece com uma espécie de “sela” ou uma réplica esticada de um cilindro, com curvas abertas.

Passo 5

Para desenhar, podemos traçar cortes da superfície em diferentes planos:
  • No plano , a equação fica , o que não tem solução real (não há interseção com o plano ).
  • Para cortes com positivo ou negativo, por exemplo, , a equação vira ou , que é um círculo com raio .

Resposta

A superfície dada pela equação é um hiperbolóide de uma folha. O esboço dessa superfície se assemelha a uma “sela” esticada, com curvas circulares para cada plano fixo.

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