Esboce as seguintes regiões no espaço:
(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2 <= 1, x^2+y^2 <= z <= 2

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região em R^3 dada por x^2+y^2<=1 e x^2+y^2<= z<=2. O assunto envolve superfícies quádricas: o paraboloide z=x^2+y^2, o plano z=2 e a projeção no plano xy.

Passo 2

Para entender a forma no plano xy, note que a condição x^2+y^2<= z não altera a projeção: basta ter x^2+y^2<=1. Logo a projeção da região no plano xy é o disco de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

A fronteira inferior da região é o paraboloide z=x^2+y^2e a superior é o plano horizontal z=2. Para cada ponto (x,y) no disco x^2+y^2<=1, z varia de x^2+y^2 até 2.

Passo 4

Para verificar a interseção entre paraboloide e plano, igualamos x^2+y^2=2, o que daria raio r=raiz2. Mas como estamos dentro do cilindro r<=1, o paraboloide fica sempre abaixo do plano na região de interesse, e a “tampa” em z=2 é um disco de raio 1.

Passo 5

No esboço 3D, desenhe: 1) o disco no plano z=2 de raio 1; 2) o paraboloide acima do ângulo xy, subindo de 0 em r=0 até z=1 em r=1; 3) linhas verticais ligando cada ponto do paraboloide à sua projeção no plano z=2. O resultado é um “tubo” curvo, com base paraboloidal e topo plano.

Resposta

A região é o volume limitado abaixo pelo paraboloide z=x^2+y^2, acima pelo plano z=2 e lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1. No esboço 3D, isso aparece como um “recipiente” curvo: um disco plano em z=2 de raio 1, uma face inferior paraboloidal subindo de z=0 no centro até z=1 na borda, e superfícies verticais ligando os dois.

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