Esboce as seguintes regiões no espaço:
Passo 1
O enunciado pede o esboço da região em
dada por
e
. O assunto envolve superfícies quádricas: o paraboloide
, o plano
e a projeção no plano
.
Passo 2
Para entender a forma no plano
, note que a condição
não altera a projeção: basta ter
. Logo a projeção da região no plano
é o disco de raio 1 centrado na origem.
Passo 3
A fronteira inferior da região é o paraboloide
e a superior é o plano horizontal
. Para cada ponto
no disco
,
varia de
até 2.
Passo 4
Para verificar a interseção entre paraboloide e plano, igualamos
, o que daria raio
. Mas como estamos dentro do cilindro
, o paraboloide fica sempre abaixo do plano na região de interesse, e a “tampa” em
é um disco de raio 1.
Passo 5
No esboço 3D, desenhe: 1) o disco no plano
de raio 1; 2) o paraboloide acima do ângulo
, subindo de 0 em
até
em
; 3) linhas verticais ligando cada ponto do paraboloide à sua projeção no plano
. O resultado é um “tubo” curvo, com base paraboloidal e topo plano.
Resposta
A região é o volume limitado abaixo pelo paraboloide
, acima pelo plano
e lateralmente pelo cilindro
. No esboço 3D, isso aparece como um “recipiente” curvo: um disco plano em
de raio 1, uma face inferior paraboloidal subindo de
no centro até
na borda, e superfícies verticais ligando os dois.