Esboce as seguintes regiões no espaço:
(x, y, z) in R^3 ; 1 <= x^2+y^2 <= 4, 0 <= z <= 2-raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região , (x,y,z)in R^3:;1<= x^2+y^2<=4,;0<= z<=2-raizx^2+y^2, no espaço. O conteúdo envolve identificação de superfícies cilíndricas e cônicas e uso de coordenadas cilíndricas para visualizar o sólido.

Passo 2

Para entender melhor, convém passar para coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta, z=zO conjunto vira 1<= r^2<=4iff1<= r<=2,0<=theta<=2pi,0<= z<=2-r

Passo 3

A projeção no plano xy é o anel 1<= r<=2. Ou seja, no plano z=0 temos dois círculos concêntricos de raios 1 e 2. Verticalmente, o sólido sobe desde z=0 até a superfície definida por z=2-r.

Passo 4

Em termos de superfícies limitantes temos: a base inferior é o plano z=0, as paredes laterais internas e externas são os cilindros r=1 e r=2, e a tampa superior é a superfície cônica invertida z=2-raizx^2+y^2.

Passo 5

Para esboçar, primeiro desenhe no plano xy os círculos de raio 1 e 2. Depois, em cada ponto desse anel, trace uma reta vertical de z=0 até o ponto da superfície z=2-r. As arestas dessa superfície formam um cone de vértice em (0,0,2) que intercepta o plano z=0 na circunferência de raio 2.
O sólido resultante é portanto uma “casca” cilíndrica anelar sob um teto cônico, com base plana em z=0, entre r=1 e r=2, e teto pela superfície z=2-r.

Resposta

Região limitada pelos cilindros de raio 1 e 2 (projeção anelar em xy), pela base plana z=0 e pela tampa cônica z=2-raizx^2+y^2, formando um frustum cônico anelar.

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