Esboce, em um sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das seguintes funções.
f(x, y)=x+2 y.

Passo 1

A questão pede para esboçar em ℝ³ o gráfico da função de duas variáveis f(x,y)=x+2y, ou seja, o plano definido por z=x+2y.
O conteúdo é geometria analítica espacial: gráfico de função f: R^2to R é a superfície z=f(x,y). Precisamos reescrever o enunciado como uma equação de plano em x,y,z.

Passo 2

Escrevendo o gráfico como equação implícita, temos:
z = x + 2y

Passo 3

Para esboçar um plano, basta determinar três pontos não colineares que o definem. Um ponto trivial é a interseção com os três eixos:
  • Interseção com o eixo z: x=0, y=0 z=0 → ponto (0,0,0).
  • Interseção com o eixo x (tomando y=0, z=0): 0 = x + 2cdot0 x=0, mas esse ponto já é o mesmo. Em vez disso, escolhemos y=0, x=1, obtendo z=1 → ponto (1,0,1).
  • Interseção com o eixo y (tomando x=0, z=0): 0 = 0 + 2y y=0, mesmo ponto. Então escolhemos x=0, y=1, obtendo z=2 → ponto (0,1,2).

Passo 4

Agora temos três pontos não colineares: (0,0,0), (1,0,1) e (0,1,2). Basta esboçá-los no sistema de eixos x,y,z e traçar o plano que os contém.

Passo 5

No esboço, represente cada ponto e ligue-os para formar a região triangular, estendendo-se de modo a indicar que o plano continua indefinidamente.

Resposta

O gráfico é o plano z=x+2y em ℝ³, passando pelos pontos (0,0,0), (1,0,1) e (0,1,2).

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