Resolva utilizando séries de potências.
y^prime prime-y=-x, quando o ponto ordinário for x0=2.

Passo 1

Temos a equação diferencial
y'' - y = -x
e queremos a solução em séries de potências centrada em x₀ = 2. O conteúdo aqui é usar séries de potências para resolver uma EDO linear de 2º ordem em torno de um ponto ordinário.

Passo 2

Assumimos a solução na forma
y = ∑_{n=0}^∞ a_n (x - 2)^n.
Então
y'' = ∑_{n=2}^∞ n(n-1)\,a_n\, (x - 2)^{n-2} = ∑_{m=0}^∞ (m+2)(m+1)\,a_{m+2}\, (x-2)^m.

Passo 3

Substituímos na EDO e escrevemos o termo -x em série ao redor de x=2:
-x = -igl[(x-2)+2igr] = -(x-2) - 2 = ∑_{m=0}^∞ b_m (x-2)^m
onde b_0 = -2, b_1 = -1 e b_m = 0 para m ≥ 2. A equação fica
∑_{m=0}^∞igl[(m+2)(m+1)\,a_{m+2} - a_migr](x-2)^m = ∑_{m=0}^∞ b_m
t.

Passo 4

Igualando coeficientes em cada potência (x-2)^m, obtemos:
m=0: (2·1) a_2 - a_0 = -2 ⇒ a_2 = (a_0 - 2)/2
m=1: (3·2) a_3 - a_1 = -1 ⇒ a_3 = (a_1 - 1)/6
m≥2: (m+2)(m+1) a_{m+2} - a_m = 0 ⇒ a_{m+2} = a_m/[(m+2)(m+1)].

Passo 5

Assim, a solução em série geral é
y = a_0 + a_1 (x-2)
    + (a_0 - 2)/2·(x-2)^2
    + (a_1 - 1)/6·(x-2)^3
    + (a_0 - 2)/24·(x-2)^4
    + (a_1 - 1)/120·(x-2)^5 + …
com as constantes arbitrárias a_0 = y(2) e a_1 = y’(2).

Passo 6

Observação: reconhecendo a parte homogênea e a particular, nota-se que y_p(x)=x e
y_h(x)=C_1 e^x + C_2 e^{-x},
o que ao expandir em série em (x-2) leva exatamente ao mesmo recursivo acima.

Resposta

y(x)=a_0 + a_1 (x-2)+\frac{a_0-2}{2}(x-2)2+\frac{a_1-1}{6}(x-2)3+\frac{a_0-2}{24}(x-2)4+\frac{a_1-1}{120}(x-2)5+\cdots, onde a_0=y(2) e a_1=y’(2).

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