Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para a gente desenhar o sólido e calcular a integral tripla:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais triplas, que é usado para encontrar volumes e outras quantidades em três dimensões. Vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles definem o sólido que vamos integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar os limites de integração para entender o sólido. Começamos com a variável $ x $, que vai de 0 a 1:
Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de $ x $ a $ x^2 $:
E para cada par $ (x, y) $, $ z $ varia de 0 a $ 2 + x + y $:
Passo 3
Vamos entender melhor os limites para $ y $. Notamos que $ y $ vai de $ x $ a $ x^2 $. Porém, para $ x $ entre 0 e 1, $ x^2 $ é menor que $ x $ porque, por exemplo, se $ x = 0.5 $, então $ x^2 = 0.25 $. Então, na verdade, $ y $ vai de $ x^2 $ a $ x $. Vamos corrigir isso:
Isso significa que, para cada $ x $, $ y $ está entre a parábola $ y = x^2 $ e a reta $ y = x $.
Passo 4
Agora, vamos desenhar o sólido. Imagine o plano $ xy $. Entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, $ y $ está entre $ y = x^2 $ (uma parábola) e $ y = x $ (uma linha reta). Acima desse plano, $ z $ vai de 0 até $ 2 + x + y $, formando uma superfície inclinada.
Então, o sólido é a região limitada pela base no plano $ xy $ entre $ y = x^2 $ e $ y = x $, e pela superfície superior definida por $ z = 2 + x + y $.
Passo 5
Vamos calcular a integral tripla passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
Aqui, $ x $ é uma constante em relação a $ z $, então a integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado na integral em relação a $ y $:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Integrando termo a termo em relação a $ y $:
Portanto, a integral resultante é:
Passo 8
Agora, substituímos os limites $ y = x $ e $ y = x^2 $:
Para $ y = x $:
y = x
Para $ y = x^2 $:
y = x^2
Subtraindo:
y = x
Simplificando:
2x cdot x + x^2 cdot x + x cdot x^22 = 2x^2 + x^3 + x^32
Passo 9
Agora, integramos essa expressão em relação a $ x $ de 0 a 1:
x
Integrando termo a termo:
integral0^1 (2x^2 - x^32 - x^4 - x^52 ) dx
Substituindo $ x = 1 $:
2x^33 - x^48 - x^55 - x^612 |0^1
E para $ x = 0 $, tudo é zero.
Passo 10
Vamos calcular os valores:
23 - 18 - 15 - 112
Para facilitar, encontraremos um denominador comum, que é 120: