Questão 10. Resolva as integrais usando a substituição de variável:
integral arccos (x)-xraiz1-x^2 d x

Passo 1

Estamos com a integral
integral arccos(x)-xraiz1-x^2,dx
Esse é um exercício de integração por substituição: temos uma raiz raiz1-x^2 e arccos(x), então a ideia é escolher uma variável que transforme tudo em funções trigonométricas familiares.

Passo 2

Para simplificar a expressão, fazemos a substituição
t = arccos(x)Logo, temos as relações
x = cos(t), dx = -sin(t),dt, raiz1-x^2 = sin(t)

Passo 3

Substituindo na integral original, o fator sin(t) do denominador cancela com o sin(t) de dx:
integral arccos(x)-xraiz1-x^2,dx = integral t - cos(t)sin(t)cdot(-sin(t)),dt = integral -(t - cos(t)),dt

Passo 4

Agora distribuímos o sinal e separamos a integral em duas partes:
integral -(t - cos(t)),dt = integral (-t),dt + integral cos(t),dt

Passo 5

Integramos cada termo:
integral (-t),dt = -t^22, integral cos(t),dt = sin(t)Portanto, em termos de t, o resultado é
-t^22 + sin(t) + C

Passo 6

Falta voltar para x. Lembrando que t = arccos(x) e sin(t) = raiz1-x^2, obtemos a resposta final.

Resposta

-\tfrac{1}{2}\bigl(\arccos(x)\bigr)^{2} + \sqrt{1-x^{2}} + C

Exercícios relacionados