Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar um sólido e calcular a integral tripla . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais triplas, além de visualizar a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração para visualizar o sólido. A integral está definida com variando de a , variando de a , e variando de a . Isso significa que:
vai de a .
Para cada , vai de até .
Para cada , vai de até .
Visualizando isso, o sólido está limitado no espaço onde , , e variam dentro desses limites.
Passo 3
Vamos começar a calcular a integral tripla passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
A antiderivada de em relação a é . Então, avaliando de a :
Passo 4
Agora, a segunda integração é em relação a . Então, temos:
Essa integral é um pouco mais complicada, mas podemos usar uma substituição para simplificar. Vamos chamar , então . Quando , , e quando , . Substituindo:
Essa expressão ainda é complexa, mas podemos reconhecer que a parte se integra facilmente:
A outra parte envolve sin(u + raizu - x), que pode não ter uma antiderivada elementar, indicando que poderíamos precisar de métodos numéricos ou uma simplificação adicional. Porém, para fins deste exercício, vamos considerar uma aproximação ou reconhecer que a integral direta pode ser complicada.