Esboce o sólido e calcule o volume do sólido delimitado por z=6-x^2-y^2 e z=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para esboçar o sólido e calcular o volume delimitado pelas superfícies $ z = 6 - x^{2} - y^{2} $ e $ z = -1 $. Isso envolve um pouco de geometria e cálculo, principalmente integrais duplas. Vamos precisar entender como essas superfícies se comportam e onde elas se encontram para definir os limites da nossa integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada uma dessas equações representa. A equação $ z = 6 - x^{2} - y^{2} $ descreve um paraboloide que abre para baixo, já que os termos quadráticos têm sinais negativos. Já $ z = -1 $ é simplesmente um plano horizontal a uma altura de -1 no eixo z.

Passo 3

Para encontrar a região que está entre essas duas superfícies, precisamos descobrir onde elas se interceptam. Isso significa igualar as duas expressões para $ z $:
z

Passo 4

Resolvendo essa equação para $ x^{2} + y^{2} $, temos:
x^2 + y^2
Isso nos mostra que a interseção ocorre quando $ x^{2} + y^{2} = 7 $, que é um círculo de raio $ \sqrt{7} $ no plano $ z = -1 $.

Passo 5

Agora, para calcular o volume entre essas superfícies, vamos usar coordenadas polares, já que a região de integração é circular. Em coordenadas polares, $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $, e a área diferencial é $ dA = r, dr, d\theta $.

Passo 6

O limite para $ r $ vai de 0 até $ \sqrt{7} $, e $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $ para cobrir todo o círculo. A diferença nas alturas das superfícies é $ (6 - r^{2}) - (-1) = 7 - r^{2} $. Então, o volume $ V $ é dado por:
r

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^raiz7 (7r - r^3) , dr = [ 72r^2 - 14r^4 ]0^raiz7 = 72(7) - 14(49) = 492 - 494 = 494

Passo 8

Agora, integramos em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

O volume do sólido delimitado pelas superfícies $ z = 6 - x^{2} - y^{2} $ e $ z = -1 $ é $ \frac{49}{2}\pi $ unidades cúbicas.

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