Esboce o sólido e calcule o volume do sólido delimitado por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para esboçar o sólido e calcular o volume delimitado pelas superfícies $ z = 6 - x^{2} - y^{2} $ e $ z = -1 $. Isso envolve um pouco de geometria e cálculo, principalmente integrais duplas. Vamos precisar entender como essas superfícies se comportam e onde elas se encontram para definir os limites da nossa integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada uma dessas equações representa. A equação $ z = 6 - x^{2} - y^{2} $ descreve um paraboloide que abre para baixo, já que os termos quadráticos têm sinais negativos. Já $ z = -1 $ é simplesmente um plano horizontal a uma altura de -1 no eixo z.
Passo 3
Para encontrar a região que está entre essas duas superfícies, precisamos descobrir onde elas se interceptam. Isso significa igualar as duas expressões para $ z $:
Passo 4
Resolvendo essa equação para $ x^{2} + y^{2} $, temos:
Isso nos mostra que a interseção ocorre quando $ x^{2} + y^{2} = 7 $, que é um círculo de raio $ \sqrt{7} $ no plano $ z = -1 $.
Passo 5
Agora, para calcular o volume entre essas superfícies, vamos usar coordenadas polares, já que a região de integração é circular. Em coordenadas polares, $ x = r\cos\theta $ e $ y = r\sin\theta $, e a área diferencial é $ dA = r, dr, d\theta $.
Passo 6
O limite para $ r $ vai de 0 até $ \sqrt{7} $, e $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $ para cobrir todo o círculo. A diferença nas alturas das superfícies é $ (6 - r^{2}) - (-1) = 7 - r^{2} $. Então, o volume $ V $ é dado por:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 8
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
O volume do sólido delimitado pelas superfícies $ z = 6 - x^{2} - y^{2} $ e $ z = -1 $ é $ \frac{49}{2}\pi $ unidades cúbicas.