( 2,0 pontos) Marque V para a sentença verdadeira e F para a falsa. Justifique suas respostas.
a) ( V ) A função g(x, y)=\frac{x y}{1+e^{x-y}} é diferenciável, pois é contínua em todos os pontos do seu domínio.
b) ( V ) A função f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, exceto no ponto (0,0).
c) ( V ) O número g_{x}(2,2), onde g(x, y)=\frac{x y}{1+e^{x-y}}, corresponde à inclinação da reta tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de g com o plano y=2 no ponto (2,2, g(2,2)).
d) ( F ) As funções g_{x x} e g_{y y} são iguais, onde g(x, y)=\frac{x y}{1+e^{x-y}}.
Passo 1
O enunciado pede que eu marque [V) (verdadeiro) ou F (falso) para quatro sentenças sobre funções de duas variáveis e justifique cada resposta. As quatro sentenças são:
a) A função g(x,y)=\dfrac{x y}{1+e^{x-y}} é diferenciável, pois é contínua em todos os pontos do seu domínio.
é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, exceto no ponto ((0,0)].
c) O número g_{x}(2,2), onde g(x,y)=\dfrac{x y}{1+e^{x-y}}, corresponde à inclinação da reta tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de g com o plano y=2 no ponto (2,2,g(2,2)).
d) As funções g_{xx} e g_{yy} são iguais, onde g(x,y)=\dfrac{x y}{1+e^{x-y}}.
Informações úteis dadas pelo enunciado: as fórmulas de g e f acima e os pontos envolvidos (2,2) e (0,0). A tarefa é decidir V ou F e justificar cada escolha.]
Passo 2
Análise da sentença (a). Primeiro eu explico conceitos importantes de forma direta e leve: diferenciabilidade e continuidade para funções de duas variáveis.
Continuidade em um ponto significa que os valores da função tendem ao valor da função quando (x,y) se aproxima daquele ponto.
Diferenciabilidade em um ponto é uma propriedade mais forte: a função é bem aproximada por um plano afim (o plano tangente) perto do ponto. Uma maneira prática de garantir diferenciabilidade é ter todas as derivadas parciais de primeira ordem existentes e contínuas numa vizinhança do ponto — isso implica que a função é C^1 ali, logo diferenciável.
Agora analiso g(x,y)=x y\cdot h(x,y) com h(x,y)=\dfrac{1}{1+e^{x-y}}.
A função exponencial e^{x-y} é C^\infty (infinitamente diferenciável) em toda parte.
A função 1+e^{x-y} é continuamente positiva (valores maiores que 1), então sua recíproca h(x,y) também é C^\infty em toda parte (não há divisão por zero).
Produto e composição de funções C^\infty continuam C^\infty.
Conclusão: g é C^\infty em todo \mathbb{R}^2, portanto diferenciável em todos os pontos do seu domínio. A justificativa “por ser contínua” está mal formulada: continuidade sozinha NÃO garante diferenciabilidade, mas neste caso podemos afirmar diferenciabilidade porque g é composta de funções suaves. Logo a sentença (a) como afirmada (“é diferenciável, pois é contínua”) merece atenção: o resultado final (diferenciável) é verdadeiro, mas a justificativa lógica dada na sentença (que continuidade implica diferenciabilidade) é falsa como regra geral. Como a instrução do enunciado pede marcar V para sentença verdadeira e F para falsa, devemos interpretar se a sentença inteira (afirmação + justificativa) é verdadeira. A parte justificativa é incorreta (continuidade não basta), então a sentença como escrita é falsa se lida estritamente como “diferenciável, porque é contínua”. Contudo, o enunciado original do estudante marcou ( V ) — precisamos decidir corretamente: a conclusão é verdadeira, a razão dada é equivocada. Em provas, uma afirmação do tipo “A é verdadeira, pois B” só é verdadeira se B implica A. Aqui B (continuidade) não implica A (diferenciabilidade). Portanto a sentença composta é falsa.
Passo 3
Resposta e justificativa final para (a) de forma direta e clara:
A conclusão " g é diferenciável em todo lugar" é verdadeira.
A justificativa “pois é contínua” é falsa como argumento geral.
Portanto, se o enunciado exige que a justificativa seja correta, a sentença inteira é Falsa. Em muitos exercícios da faculdade espera-se precisão lógica: escrever “é diferenciável porque é contínua” é um erro. Logo a marcação correta para a sentença a) é F.
(Se a intenção fosse só checar a diferenciabilidade sem considerar a frase justificativa, marcaríamos V. Mas seguindo rigor lógico, escolhemos F.)
Passo 4
Análise da sentença (b). Vou explicar passo a passo como verificar diferenciabilidade nessa função por partes.
Para (x,y)\neq(0,0) a função é uma razão de polinômios com denominador 2x^2+y^2 que é estritamente positivo fora da origem, então é uma função C^\infty nessa região — logo diferenciável em todo ponto com (x,y)\neq(0,0).
No ponto (0,0) precisamos verificar continuidade e derivabilidade. A função definida por partes vale 1 no ponto, então primeiro checar a continuidade:
Calculo o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}}.
Uma estimativa útil (muito prática em provas) é usar uma medida homogênea do tamanho do par (x,y). Defina
Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), isso mostra que o quociente tende a 0. Mas a função vale 1 em (0,0). Logo a função é descontínua em (0,0) (o limite é 0 e não 1).
Diferenciabilidade exige continuidade no ponto; como falha a continuidade em (0,0), a função não é diferenciável em (0,0). Para os outros pontos já argumentamos que é diferenciável.
Conclusão: a sentença (b) afirma que a função é diferenciável em todos os pontos do domínio, exceto em (0,0). Isso é correto — a função NÃO é diferenciável em (0,0) e é diferenciável nos demais pontos. Portanto a marcação correta para (b) é V.
Passo 5
Análise da sentença (c). Vou explicar o significado de g_x(2,2) e por que a sentença é verdadeira:
Fixar y=2 e intersectar a superfície z=g(x,y) com o plano y=2 produz uma curva no plano (x,z) (ou seja, uma função univariada z=\varphi(x)=g(x,2) perto de x=2).
A derivada dessa função univariada é \varphi'(x)=\dfrac{d}{dx}g(x,2)=g_x(x,2). Em particular \varphi'(2)=g_x(2,2).
Geometricamente, \varphi'(2) é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva de interseção no ponto (2,2,g(2,2)).
Posso até calcular g_x(2,2) para ilustrar: com h(x,y)=\dfrac{1}{1+e^{x-y}} temos
Isso confirma que a reta tangente à curva de interseção é horizontal ali (inclinação 0). A sentença (c) é verdadeira. Marcação: V.
Passo 6
Análise da sentença (d). A afirmação é que g_{xx}=g_{yy} para g(x,y)=\dfrac{x y}{1+e^{x-y}}. Explico por que isso geralmente não precisa ser verdade e mostro um contraexemplo direto avaliando as duas derivadas em (2,2).
Já temos expressões intermediárias do passo anterior:
g_{xx}=2y\,h_x + x y\,h_{xx}, \qquad g_{yy}=2x\,h_y + x y\,h_{yy}.
Agora avalio em (2,2). Em (2,2) temos e^{x-y}=1, h=\tfrac12, h_x=-\tfrac14, h_y=+\tfrac14. Precisamos também de h_{xx} e h_{yy}. Uma conta (feita no passo anterior com cuidado) dá
Portanto g_{xx}(2,2)=-1 e g_{yy}(2,2)=1, que são diferentes. Isso é um contraexemplo explícito mostrando que g_{xx} e g_{yy} não são iguais em geral. Assim a sentença (d) é falsa. Marcação: F.
Observação conceitual curta: igualdade de derivadas segundas puras (g_{xx}=g_{yy}) não é uma identidade geral; existe um teorema (de Clairaut/Symmetry) que fala da igualdade das derivadas mistas g_{xy}=g_{yx} sob hipóteses de continuidade das segundas derivadas mistas, mas isso não impõe g_{xx}=g_{yy}.