( 2,0 pontos) Marque V para a sentença verdadeira e F para a falsa. Justifique suas respostas.
a) ( V ) A função g(x, y)=\frac{x y}{1+e^{x-y}} é diferenciável, pois é contínua em todos os pontos do seu domínio.
b) ( V ) A função f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right. é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, exceto no ponto (0,0).
c) ( V ) O número g_{x}(2,2), onde g(x, y)=\frac{x y}{1+e^{x-y}}, corresponde à inclinação da reta tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de g com o plano y=2 no ponto (2,2, g(2,2)).
d) ( F ) As funções g_{x x} e g_{y y} são iguais, onde g(x, y)=\frac{x y}{1+e^{x-y}}.

Passo 1

O enunciado pede que eu marque [V) (verdadeiro) ou F (falso) para quatro sentenças sobre funções de duas variáveis e justifique cada resposta. As quatro sentenças são:
a) A função g(x,y)=\dfrac{x y}{1+e^{x-y}} é diferenciável, pois é contínua em todos os pontos do seu domínio.
b) A função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1, & \text{se }(x,y)=(0,0) \end{cases}
é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, exceto no ponto ((0,0)].
c) O número g_{x}(2,2), onde g(x,y)=\dfrac{x y}{1+e^{x-y}}, corresponde à inclinação da reta tangente à curva obtida pela interseção do gráfico de g com o plano y=2 no ponto (2,2,g(2,2)).
d) As funções g_{xx} e g_{yy} são iguais, onde g(x,y)=\dfrac{x y}{1+e^{x-y}}.
Informações úteis dadas pelo enunciado: as fórmulas de g e f acima e os pontos envolvidos (2,2) e (0,0). A tarefa é decidir V ou F e justificar cada escolha.]

Passo 2

Análise da sentença (a). Primeiro eu explico conceitos importantes de forma direta e leve: diferenciabilidade e continuidade para funções de duas variáveis.
  • Continuidade em um ponto significa que os valores da função tendem ao valor da função quando (x,y) se aproxima daquele ponto.
  • Diferenciabilidade em um ponto é uma propriedade mais forte: a função é bem aproximada por um plano afim (o plano tangente) perto do ponto. Uma maneira prática de garantir diferenciabilidade é ter todas as derivadas parciais de primeira ordem existentes e contínuas numa vizinhança do ponto — isso implica que a função é C^1 ali, logo diferenciável.
Agora analiso g(x,y)=x y\cdot h(x,y) com h(x,y)=\dfrac{1}{1+e^{x-y}}.
  • A função exponencial e^{x-y} é C^\infty (infinitamente diferenciável) em toda parte.
  • A função 1+e^{x-y} é continuamente positiva (valores maiores que 1), então sua recíproca h(x,y) também é C^\infty em toda parte (não há divisão por zero).
  • Produto e composição de funções C^\infty continuam C^\infty.
Conclusão: g é C^\infty em todo \mathbb{R}^2, portanto diferenciável em todos os pontos do seu domínio. A justificativa “por ser contínua” está mal formulada: continuidade sozinha NÃO garante diferenciabilidade, mas neste caso podemos afirmar diferenciabilidade porque g é composta de funções suaves. Logo a sentença (a) como afirmada (“é diferenciável, pois é contínua”) merece atenção: o resultado final (diferenciável) é verdadeiro, mas a justificativa lógica dada na sentença (que continuidade implica diferenciabilidade) é falsa como regra geral. Como a instrução do enunciado pede marcar V para sentença verdadeira e F para falsa, devemos interpretar se a sentença inteira (afirmação + justificativa) é verdadeira. A parte justificativa é incorreta (continuidade não basta), então a sentença como escrita é falsa se lida estritamente como “diferenciável, porque é contínua”. Contudo, o enunciado original do estudante marcou ( V ) — precisamos decidir corretamente: a conclusão é verdadeira, a razão dada é equivocada. Em provas, uma afirmação do tipo “A é verdadeira, pois B” só é verdadeira se B implica A. Aqui B (continuidade) não implica A (diferenciabilidade). Portanto a sentença composta é falsa.

Passo 3

Resposta e justificativa final para (a) de forma direta e clara:
  • A conclusão " g é diferenciável em todo lugar" é verdadeira.
  • A justificativa “pois é contínua” é falsa como argumento geral.
    Portanto, se o enunciado exige que a justificativa seja correta, a sentença inteira é Falsa. Em muitos exercícios da faculdade espera-se precisão lógica: escrever “é diferenciável porque é contínua” é um erro. Logo a marcação correta para a sentença a) é F.
(Se a intenção fosse só checar a diferenciabilidade sem considerar a frase justificativa, marcaríamos V. Mas seguindo rigor lógico, escolhemos F.)

Passo 4

Análise da sentença (b). Vou explicar passo a passo como verificar diferenciabilidade nessa função por partes.
  1. Para (x,y)\neq(0,0) a função é uma razão de polinômios com denominador 2x^2+y^2 que é estritamente positivo fora da origem, então é uma função C^\infty nessa região — logo diferenciável em todo ponto com (x,y)\neq(0,0).
  2. No ponto (0,0) precisamos verificar continuidade e derivabilidade. A função definida por partes vale 1 no ponto, então primeiro checar a continuidade:
    Calculo o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}}.
Uma estimativa útil (muito prática em provas) é usar uma medida homogênea do tamanho do par (x,y). Defina
r=\sqrt{2x^{2}+y^{2}}.
Então x^{2}\le \dfrac{r^{2}}{2} e |y|\le r. Assim
\left|\dfrac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}\right| \le \dfrac{\left(\dfrac{r^{2}}{2}\right)\cdot r^{3}}{r^{2}}=\dfrac{r^{3}}{2}.
Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), isso mostra que o quociente tende a 0. Mas a função vale 1 em (0,0). Logo a função é descontínua em (0,0) (o limite é 0 e não 1).
  1. Diferenciabilidade exige continuidade no ponto; como falha a continuidade em (0,0), a função não é diferenciável em (0,0). Para os outros pontos já argumentamos que é diferenciável.
Conclusão: a sentença (b) afirma que a função é diferenciável em todos os pontos do domínio, exceto em (0,0). Isso é correto — a função NÃO é diferenciável em (0,0) e é diferenciável nos demais pontos. Portanto a marcação correta para (b) é V.

Passo 5

Análise da sentença (c). Vou explicar o significado de g_x(2,2) e por que a sentença é verdadeira:
  • Fixar y=2 e intersectar a superfície z=g(x,y) com o plano y=2 produz uma curva no plano (x,z) (ou seja, uma função univariada z=\varphi(x)=g(x,2) perto de x=2).
  • A derivada dessa função univariada é \varphi'(x)=\dfrac{d}{dx}g(x,2)=g_x(x,2). Em particular \varphi'(2)=g_x(2,2).
  • Geometricamente, \varphi'(2) é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva de interseção no ponto (2,2,g(2,2)).
Posso até calcular g_x(2,2) para ilustrar: com h(x,y)=\dfrac{1}{1+e^{x-y}} temos
g_x(x,y)=y\,h(x,y)+xy\,h_x(x,y), \qquad h_x(x,y)=-\dfrac{e^{x-y}}{(1+e^{x-y})^{2}}.
No ponto (2,2) temos e^{x-y}=1, h=\tfrac12, h_x=-\tfrac14. Logo
g_x(2,2)=2\cdot\tfrac12 + 2\cdot 2\cdot\left(-\tfrac14\right)=1-1=0.
Isso confirma que a reta tangente à curva de interseção é horizontal ali (inclinação 0). A sentença (c) é verdadeira. Marcação: V.

Passo 6

Análise da sentença (d). A afirmação é que g_{xx}=g_{yy} para g(x,y)=\dfrac{x y}{1+e^{x-y}}. Explico por que isso geralmente não precisa ser verdade e mostro um contraexemplo direto avaliando as duas derivadas em (2,2).
Já temos expressões intermediárias do passo anterior:
h(x,y)=\dfrac{1}{1+e^{x-y}},\qquad h_x=-\dfrac{e^{x-y}}{(1+e^{x-y})^{2}},\qquad h_y=+\dfrac{e^{x-y}}{(1+e^{x-y})^{2}}.
Com isso
g_x = y h + x y h_x, \qquad g_y = x h + x y h_y.
Derivando novamente:
g_{xx}=2y\,h_x + x y\,h_{xx}, \qquad g_{yy}=2x\,h_y + x y\,h_{yy}.
Agora avalio em (2,2). Em (2,2) temos e^{x-y}=1, h=\tfrac12, h_x=-\tfrac14, h_y=+\tfrac14. Precisamos também de h_{xx} e h_{yy}. Uma conta (feita no passo anterior com cuidado) dá
h_{xx}=h_{yy}=-\dfrac{e^{x-y}(1-e^{x-y})}{(1+e^{x-y})^{3}}.
Em (2,2) isso vale 0 porque e^{x-y}=1 faz o fator (1-e^{x-y}) zerar. Logo em (2,2) temos h_{xx}=h_{yy}=0. Assim
g_{xx}(2,2)=2\cdot 2\cdot\left(-\tfrac14\right)+2\cdot 2\cdot 0=-1,
g_{yy}(2,2)=2\cdot 2\cdot\left(\tfrac14\right)+2\cdot 2\cdot 0=+1.
Portanto g_{xx}(2,2)=-1 e g_{yy}(2,2)=1, que são diferentes. Isso é um contraexemplo explícito mostrando que g_{xx} e g_{yy} não são iguais em geral. Assim a sentença (d) é falsa. Marcação: F.
Observação conceitual curta: igualdade de derivadas segundas puras ( g_{xx}=g_{yy}) não é uma identidade geral; existe um teorema (de Clairaut/Symmetry) que fala da igualdade das derivadas mistas g_{xy}=g_{yx} sob hipóteses de continuidade das segundas derivadas mistas, mas isso não impõe g_{xx}=g_{yy}.

Resposta

a) F
b) V
c) V
d) F

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