Um pedreiro está empilhando blocos de cimento, colocando 5 blocos na primeira pilha, 8 na segunda, 11 na terceira…
a) Qual será o número de blocos na 7^{\mathrm{a}} pilha?
b) Quantos blocos ele usará ao todo nas 7 primeiras pilhas?

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de contagens de blocos nas pilhas: a primeira pilha tem 5 blocos, a segunda tem 8 blocos, a terceira tem 11 blocos, e assim por diante. As perguntas são:
a) Qual será o número de blocos na 7^{\mathrm{a}} pilha?
b) Quantos blocos ele usará ao todo nas 7 primeiras pilhas?

Passo 2

Observando os termos dados 5,8,11,\dots vemos que a sequência aumenta sempre de forma constante. Vamos identificar os dados iniciais dessa sequência:
Defina a_1 como o número de blocos da primeira pilha e d como a diferença comum entre termos consecutivos. Temos
a_1 = 5 (peguei do enunciado) e a diferença d é
d = 8 - 5.
Agora calculamos d:
d = 8 - 5 = 3.
Então a sequência é uma progressão aritmética com primeiro termo a_1=5 e razão d=3.

Passo 3

Em uma progressão aritmética (PA) o n-ésimo termo é dado pela fórmula
a_n = a_1 + (n-1)\,d,
onde:
  • a_n é o n-ésimo termo que queremos encontrar,
  • a_1 é o primeiro termo,
  • d é a razão (diferença entre termos consecutivos),
  • n é o índice do termo.
    Essa fórmula vem do fato de que para chegar do primeiro termo ao n-ésimo somamos a razão d exatamente n-1 vezes.

Passo 4

Agora usamos a fórmula para achar o número de blocos na 7^{\mathrm{a}} pilha. Substituindo a_1=5, d=3 e n=7 na fórmula do termo geral:
a_7 = a_1 + (7-1)\,d.
Calcule passo a passo:
7-1 = 6,
6\cdot d = 6\cdot 3 = 18,
a_7 = 5 + 18 = 23.
Portanto, a 7^{\mathrm{a}} pilha terá 23 blocos.

Passo 5

Agora precisamos somar os blocos das 7 primeiras pilhas. Em uma PA a soma dos primeiros n termos é dada pela fórmula
S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n),
onde:
  • S_n é a soma dos n primeiros termos,
  • a_1 é o primeiro termo,
  • a_n é o n-ésimo termo.
    Motivação rápida e intuitiva: em uma PA o primeiro mais o último têm sempre a mesma soma; juntando os termos em pares (primeiro com último, segundo com penúltimo, etc.) obtemos n/2 pares com soma igual, então multiplicamos essa soma pelo número de pares. A fórmula vale também quando n é ímpar (o termo do meio fica sozinho, mas a fórmula continua correta).

Passo 6

Aplicando a fórmula com n=7, a_1=5 e a_7=23:
S_7 = \frac{7}{2}\,(5 + 23).
Calcule passo a passo:
5 + 23 = 28,
\frac{7}{2}\cdot 28 = 7\cdot \frac{28}{2} = 7\cdot 14 = 98.
Portanto, o total de blocos usados nas 7 primeiras pilhas é 98.

Resposta

23
98

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