Um pedreiro está empilhando blocos de cimento, colocando 5 blocos na primeira pilha, 8 na segunda, 11 na terceira…
a) Qual será o número de blocos na
pilha?
b) Quantos blocos ele usará ao todo nas 7 primeiras pilhas?
a) Qual será o número de blocos na
b) Quantos blocos ele usará ao todo nas 7 primeiras pilhas?
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de contagens de blocos nas pilhas: a primeira pilha tem
blocos, a segunda tem
blocos, a terceira tem
blocos, e assim por diante. As perguntas são:
a) Qual será o número de blocos na pilha?
b) Quantos blocos ele usará ao todo nas primeiras pilhas?
a) Qual será o número de blocos na
b) Quantos blocos ele usará ao todo nas
Passo 2
Observando os termos dados
vemos que a sequência aumenta sempre de forma constante. Vamos identificar os dados iniciais dessa sequência:
Defina como o número de blocos da primeira pilha e
como a diferença comum entre termos consecutivos. Temos
(peguei do enunciado) e a diferença
é
Defina
Agora calculamos
:
Então a sequência é uma progressão aritmética com primeiro termo
e razão
.
Passo 3
Em uma progressão aritmética (PA) o
-ésimo termo é dado pela fórmula
onde:
-
é o -ésimo termo que queremos encontrar, -
é o primeiro termo, -
é a razão (diferença entre termos consecutivos), -
é o índice do termo.
Essa fórmula vem do fato de que para chegar do primeiro termo ao-ésimo somamos a razão exatamente vezes.
Passo 4
Agora usamos a fórmula para achar o número de blocos na
pilha. Substituindo
,
e
na fórmula do termo geral:
Calcule passo a passo:
Portanto, a
pilha terá
blocos.
Passo 5
Agora precisamos somar os blocos das
primeiras pilhas. Em uma PA a soma dos primeiros
termos é dada pela fórmula
onde:
-
é a soma dos primeiros termos, -
é o primeiro termo, -
é o -ésimo termo.
Motivação rápida e intuitiva: em uma PA o primeiro mais o último têm sempre a mesma soma; juntando os termos em pares (primeiro com último, segundo com penúltimo, etc.) obtemospares com soma igual, então multiplicamos essa soma pelo número de pares. A fórmula vale também quando é ímpar (o termo do meio fica sozinho, mas a fórmula continua correta).
Passo 6
Aplicando a fórmula com
,
e
:
Calcule passo a passo:
Portanto, o total de blocos usados nas
primeiras pilhas é
.