A soma de duas vezes um número e cinco vezes um segundo número é 70. Determine os números de modo que o produto seja o maior possível.

Passo 1

O enunciado pede para achar dois números (vamos chamar de x e y) tais que a soma de duas vezes x com cinco vezes y seja 70, ou seja, 2x + 5y = 70, e que o produto x·y seja o maior possível. O conteúdo aqui é otimização de função de duas variáveis com restrição linear, e vamos usar substituição para reduzir a um problema de maximização de uma função quadrática de uma só variável.

Passo 2

Da equação da restrição, 2x + 5y = 70, isolamos y em função de x. Isso serve para expressar o produto x·y apenas em x:
y = 70 - 2x5

Passo 3

Agora definimos a função produto P(x) = x·y substituindo y:
P(x) = x cdot 70 - 2x5 = 70x - 2x^25
Esta é uma função quadrática no formato P(x) = ax^2 + bx + c com a = -tfrac25 e b = tfrac705 = 14.

Passo 4

Para maximizar uma parábola que abre para baixo, usamos a fórmula do vértice. A abscissa do vértice é dado por
xv = -b2a = -142 cdot (-tfrac25) = 140.8 = 17.5

Passo 5

Com o valor de x em mãos, encontramos y pela restrição:
y = 70 - 2 cdot 17.55 = 70 - 355 = 7
Então os números que maximizam o produto são x = 17.5 e y = 7.

Resposta

Os números são 17,5 e 7.

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