A soma de duas vezes um número e cinco vezes um segundo número é 70. Determine os números de modo que o produto seja o maior possível.
Passo 1
O enunciado pede para achar dois números (vamos chamar de x e y) tais que a soma de duas vezes x com cinco vezes y seja 70, ou seja, 2x + 5y = 70, e que o produto x·y seja o maior possível. O conteúdo aqui é otimização de função de duas variáveis com restrição linear, e vamos usar substituição para reduzir a um problema de maximização de uma função quadrática de uma só variável.
Passo 2
Da equação da restrição, 2x + 5y = 70, isolamos y em função de x. Isso serve para expressar o produto x·y apenas em x:
Passo 3
Agora definimos a função produto P(x) = x·y substituindo y:
Esta é uma função quadrática no formato
com
e
.
Passo 4
Para maximizar uma parábola que abre para baixo, usamos a fórmula do vértice. A abscissa do vértice é dado por
Passo 5
Com o valor de x em mãos, encontramos y pela restrição:
Então os números que maximizam o produto são x = 17.5 e y = 7.
Resposta
Os números são 17,5 e 7.