Esboce os gráficos de:
Passo 1
A função em questão é y = (x^4 − x^2) ln(x). Vamos esboçar esse gráfico usando análise de domínio, zeros, limites, derivadas, extremos e concavidade.
Passo 2
Domínio e zeros: como ln(x) só existe para x>0, temos domínio (0,∞). Para y=0 basta x4−x2=0 ou ln(x)=0. Daí x2(x2−1)=0 → x=1 (x=0 não está no domínio) e ln(x)=0 → x=1. Logo o único zero é x=1. Sobre o sinal: em (0,1) x4−x2<0 e ln(x)<0 → y>0; em (1,∞) x4−x2>0 e ln(x)>0 → y>0. Assim y≥0, tocando o eixo x só em x=1.
Passo 3
Limites e comportamento nas bordas: ao aproximar x→0+ temos x4−x2≈−x^2 e ln(x)→−∞, mas (−x2)ln(x)=−x2·ln(x)→0+; logo y→0+. Para x→∞, x^4ln(x) domina e y→+∞. Não existem assíntotas verticais nem horizontais.
Passo 4
Primeira derivada e monotonia: calcule y’ via produto u=(x4−x2), v=ln(x):
Resolvendo y’=0 numericamente achamos duas raízes em (0,∞): x≈0,486 e x=1. Testando o sinal de y’ dá y’>0 em (0,0,486), y’<0 em (0,486,1) e y’>0 em (1,∞).
Passo 5
Extremos locais: em x≈0,486 (y>0) a derivada muda de + para − → máximo local. Calculando y(0,486)≈0,13. Em x=1 (y=0) a derivada muda de − para + → mínimo local.
Passo 6
Segunda derivada e concavidade: derivando y’ obtemos
Numericamente y’’=0 em x≈0,785, onde y≈0,057. Assim f é côncava para baixo em (0,0,785) e côncava para cima em (0,785,∞).
Resposta
O esboço de y=(x4−x2)ln(x) em x>0 fica assim: começa em y→0+ quando x→0, sobe até o máximo local em (0,486;0,13), depois desce atravessando o eixo em (1;0) com mínimo local, e em seguida aumenta sem limite. Há ponto de inflexão em x≈0,785 (.y≈0,057.), mudando de concavidade de baixo para cima.