Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
(b) Calcule o volume do sólido.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o sólido
cuja região de integração está dada pela integral tripla
e depois calcular o volume de
. Vamos precisar descrever a região em
e em seguida executar a integração.
Passo 2
Projetando
no plano
, vemos que os limites em
vão de
a
e, para cada
, os limites em
vão de
a
. Logo a projeção é o triângulo
Passo 3
Para cada ponto
desse triângulo,
varia de
até a superfície
Portanto
Passo 4
As faces de
são os planos coordenados
,
,
e ainda os planos oblíquos
Em
a base é o retângulo
,
, e a face superior é a reta inclinada
. O sólido resultante é um pentaedro.
Passo 5
Começamos o cálculo do volume integrando em
:
Passo 6
Agora integramos em
:
Passo 7
Por fim integramos em
:
Resposta
(a) O sólido
é dado por
limitado pelos planos
,
,
,
e
, formando um pentaedro com base retangular em
e face superior inclinada.
(b) O volume de é
.
(b) O volume de