Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
integral0^1 integral0^1-x integral0^2-2 z d y d z d x
(b) Calcule o volume do sólido.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o sólido E cuja região de integração está dada pela integral tripla
integral0^1integral0^1-xintegral0^2-2zdy,dz,dx
e depois calcular o volume de E. Vamos precisar descrever a região em (x,y,z) e em seguida executar a integração.

Passo 2

Projetando E no plano xz, vemos que os limites em x vão de 0 a 1 e, para cada x, os limites em z vão de 0 a 1-x. Logo a projeção é o triângulo
(x,z)mid 0<= x<=1,;0<= z<=1-x

Passo 3

Para cada ponto (x,z) desse triângulo, y varia de 0 até a superfície
y=2-2z
Portanto
E=(x,y,z)mid 0<= x<=1,;0<= z<=1-x,;0<= y<=2-2z

Passo 4

As faces de E são os planos coordenados x=0, z=0, y=0 e ainda os planos oblíquos
x+z=1 e y+2z=2
Em z=0 a base é o retângulo 0<= x<=1, 0<= y<=2, e a face superior é a reta inclinada y=2-2z. O sólido resultante é um pentaedro.

Passo 5

Começamos o cálculo do volume integrando em y:
integral0^2-2zdy = 2-2z

Passo 6

Agora integramos em z:
integral0^1-x(2-2z),dz =2(1-x)-2cdot(1-x)^22 =2(1-x)-(1-x)^2

Passo 7

Por fim integramos em x:
integral0^1l[2(1-x)-(1-x)^2r]dx =integral0^1(1-x^2),dx =l[x-tfracx^33r]0^1 =1-tfrac13 =tfrac23

Resposta

(a) O sólido E é dado por
(x,y,z)mid 0<= x<=1,;0<= z<=1-x,;0<= y<=2-2z,
limitado pelos planos x=0, z=0, y=0, x+z=1 e y+2z=2, formando um pentaedro com base retangular em z=0 e face superior inclinada.
(b) O volume de E é 23.

Exercícios relacionados