Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:
f(x, y)=x^5+3 x^3 y^3+3 x y^4

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=x^5+3x^3y^3+3x,y^4
O conteúdo aqui é derivação parcial: para partial f/partial x tratamos y como constante e aplicamos a regra do poder e do produto; para partial f/partial y tratamos x como constante e usamos as mesmas regras.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x diferenciamos termo a termo em relação a x:
  • dfracpartialpartial x(x^5)=5x^4 (regra do poder).
  • dfracpartialpartial x(3x^3y^3)=3y^3cdot dfracddx(x^3)=3y^3cdot 3x^2=9x^2y^3.
  • dfracpartialpartial x(3x,y^4)=3y^4cdot dfracddx(x)=3y^4.
Portanto,
partial fpartial x(x,y)=5x^4+9x^2y^3+3y^4

Passo 3

Para calcular partial fpartial y diferenciamos termo a termo em relação a y:
  • dfracpartialpartial y(x^5)=0 (é constante em y).
  • dfracpartialpartial y(3x^3y^3)=3x^3cdot dfracddy(y^3)=3x^3cdot 3y^2=9x^3y^2.
  • dfracpartialpartial y(3x,y^4)=3xcdot dfracddy(y^4)=3xcdot 4y^3=12xy^3.
Logo,
partial fpartial y(x,y)=9x^3y^2+12xy^3

Resposta

partial fpartial x=5x^4+9x^2y^3+3y^4
partial fpartial y=9x^3y^2+12xy^3

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