Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
C: x=t, y=cos 2t, z=sen 2t, 0 ≤ t ≤ 2π
Passo 1
O enunciado fornece a parametrização da curva C e o intervalo de parâmetro:
x=t,
y=\cos 2t,
z=\sin 2t,
0\le t\le 2\pi.
O enunciado pede apenas “Calcule a integral de linha”, mas não especifica qual integral de linha: falta indicar o integrando. Ou seja, não foi informado se se trata de
uma integral de linha escalar do tipo \displaystyle\int_C f(x,y,z)\,ds,
uma integral de linha de um campo vetorial (trabalho) \displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} com \mathbf{F}=(P,Q,R),
ou alguma outra expressão (por exemplo \displaystyle\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz com P,Q,R específicos).
Informação ausente e necessária: qual é a função f ou o campo vetorial \mathbf{F} (ou as componentes P,Q,R). Sem isso não há uma única integral para calcular.
Passo 2
Como a integral de linha depende explicitamente do integrando, não é possível dar um único valor numérico final da “integral de linha” apenas a partir da parametrização. É preciso saber qual expressão integrar. Vou agora explicar com calma como se procede em cada caso geral, e dar exemplos concretos usando exatamente a parametrização fornecida — assim, na prova você já sabe o passo a passo e consegue aplicar ao integrando que o professor pedir.
Passo 3
Explicando passo a passo as duas formas mais comuns:
Integral de linha escalar (com arc length). Se for \displaystyle\int_C f(x,y,z)\,ds, a regra é:
onde \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) e [a,b] é o intervalo do parâmetro. Aqui f é uma função escalar definida em pontos da curva.
Integral de linha de um campo vetorial (trabalho). Se for \displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} com \mathbf{F}(x,y,z)=(P,Q,R), a regra prática é substituir:
Esses são os x'(t),y'(t),z'(t) que entram nas fórmulas acima.
Passo 5
Este exemplo mostra como aplicar a fórmula de integral escalar com f(x,y,z)=1: o resultado é o comprimento de C.
Primeiro calcule \big|\mathbf{r}'(t)\big|.
Comentário: este cálculo usa só a parametrização, portanto é um resultado concreto e pode aparecer em questões que peçam o comprimento de C.
Passo 6
Este tipo de integral aparece frequentemente. Pode-se observar que x\,dx+y\,dy+z\,dz é o diferencial exato de \tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2}). A forma prática pela parametrização é:
Observação alternativa (mais curta): como x\,dx+y\,dy+z\,dz=d\big(\tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\big), a integral é \tfrac{1}{2}\big(\|r(2\pi)\|^{2}-\|r(0)\|^{2}\big). Avaliando \|r(2\pi)\|^{2}=(2\pi)^{2}+1+0 e \|r(0)\|^{2}=0+1+0 obtém-se diferença 4\pi^{2} e metade 2\pi^{2}, mesmo resultado.
Passo 7
Quando vires uma questão “Calcule a integral de linha” com uma parametrização:
Identifica se o integrando é do tipo \displaystyle f\,ds (escalares) ou \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} / P\,dx+Q\,dy+R\,dz (vetorial).
Calcula \mathbf{r}'(t) e \big|\mathbf{r}'(t)\big|.
Substitui x(t),y(t),z(t) e x'(t),y'(t),z'(t) na fórmula apropriada e integra em t no intervalo dado.
Se for campo conservativo, procura uma potencial para simplificar (ex.: P\,dx+Q\,dy+R\,dz=d\varphi) e usa o teorema fundamental.
Passo 8
Sem a indicação do integrando (função escalar f ou campo vetorial \mathbf{F} / componentes P,Q,R) não existe um único valor para “a integral de linha” pedida. Eu mostrei acima a técnica geral, calculei dois exemplos concretos (o comprimento 2\pi\sqrt{5} e a integral \int_C x\,dx+y\,dy+z\,dz = 2\pi^{2}) usando a parametrização que você deu. Com o integrando certo eu aplico o mesmo procedimento e te entrego o resultado passo a passo.
Resposta
Não é possível calcular a integral de linha pedida porque o integrando (função f ou campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R)) não foi fornecido.