Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
C: x=t, y=cos 2t, z=sen 2t, 0 ≤ t ≤ 2π

Passo 1

O enunciado fornece a parametrização da curva C e o intervalo de parâmetro:
  • x=t,
  • y=\cos 2t,
  • z=\sin 2t,
  • 0\le t\le 2\pi.
O enunciado pede apenas “Calcule a integral de linha”, mas não especifica qual integral de linha: falta indicar o integrando. Ou seja, não foi informado se se trata de
  • uma integral de linha escalar do tipo \displaystyle\int_C f(x,y,z)\,ds,
  • uma integral de linha de um campo vetorial (trabalho) \displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} com \mathbf{F}=(P,Q,R),
  • ou alguma outra expressão (por exemplo \displaystyle\int_C P\,dx+Q\,dy+R\,dz com P,Q,R específicos).
Informação ausente e necessária: qual é a função f ou o campo vetorial \mathbf{F} (ou as componentes P,Q,R). Sem isso não há uma única integral para calcular.

Passo 2

Como a integral de linha depende explicitamente do integrando, não é possível dar um único valor numérico final da “integral de linha” apenas a partir da parametrização. É preciso saber qual expressão integrar. Vou agora explicar com calma como se procede em cada caso geral, e dar exemplos concretos usando exatamente a parametrização fornecida — assim, na prova você já sabe o passo a passo e consegue aplicar ao integrando que o professor pedir.

Passo 3

Explicando passo a passo as duas formas mais comuns:
  1. Integral de linha escalar (com arc length). Se for \displaystyle\int_C f(x,y,z)\,ds, a regra é:
ds = \big|\mathbf{r}'(t)\big|\,dt,
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\displaystyle\int_C f(x,y,z)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t),z(t)\big)\,\big|\mathbf{r}'(t)\big|\,dt,
onde \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) e [a,b] é o intervalo do parâmetro. Aqui f é uma função escalar definida em pontos da curva.
  1. Integral de linha de um campo vetorial (trabalho). Se for \displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} com \mathbf{F}(x,y,z)=(P,Q,R), a regra prática é substituir:
d\mathbf{r} = \mathbf{r}'(t)\,dt = \big(x'(t),y'(t),z'(t)\big)\,dt,
e calcular
\displaystyle\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}\big(P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\big)\,dt.
Aqui P,Q,R são as componentes do campo vetorial.
Essas são as fórmulas que tens que decorar e aplicar: basta ter a parametrização (que você já deu) e o integrando (que falta).

Passo 4

Calcular \mathbf{r}'(t) a partir da parametrização dada:
\mathbf{r}(t)=\big(t,\;\cos 2t,\;\sin 2t\big).
Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\big(1,\; -2\sin 2t,\; 2\cos 2t\big).
Esses são os x'(t),y'(t),z'(t) que entram nas fórmulas acima.

Passo 5

Este exemplo mostra como aplicar a fórmula de integral escalar com f(x,y,z)=1: o resultado é o comprimento de C.
Primeiro calcule \big|\mathbf{r}'(t)\big|.
\big|\mathbf{r}'(t)\big|^{2}=1^{2}+(-2\sin 2t)^{2}+(2\cos 2t)^{2}=1+4\sin^{2}2t+4\cos^{2}2t.
Usando \sin^{2}2t+\cos^{2}2t=1 obtemos
\big|\mathbf{r}'(t)\big|^{2}=1+4=5,
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\big|\mathbf{r}'(t)\big|=\sqrt{5}\quad\text{(constante)}.
O comprimento L é
L=\int_{0}^{2\pi}\big|\mathbf{r}'(t)\big|\,dt=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{5}\,dt=2\pi\sqrt{5}.
Comentário: este cálculo usa só a parametrização, portanto é um resultado concreto e pode aparecer em questões que peçam o comprimento de C.

Passo 6

Este tipo de integral aparece frequentemente. Pode-se observar que x\,dx+y\,dy+z\,dz é o diferencial exato de \tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2}). A forma prática pela parametrização é:
\int_C x\,dx+y\,dy+z\,dz=\int_{0}^{2\pi}\big(x(t)x'(t)+y(t)y'(t)+z(t)z'(t)\big)\,dt.
Usando nossa parametrização:
  • x(t)=t, x'(t)=1.
  • y(t)=\cos 2t, y'(t)=-2\sin 2t.
  • z(t)=\sin 2t, z'(t)=2\cos 2t.
Então a integranda é
t\cdot 1 + \cos 2t\cdot(-2\sin 2t) + \sin 2t\cdot(2\cos 2t).
Note que as duas últimas parcelas se cancelam porque -2\cos 2t\sin 2t + 2\sin 2t\cos 2t=0. Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi} t\,dt = \left.\frac{t^{2}}{2}\right|_{0}^{2\pi}=\frac{(2\pi)^{2}}{2}=2\pi^{2}.
Observação alternativa (mais curta): como x\,dx+y\,dy+z\,dz=d\big(\tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\big), a integral é \tfrac{1}{2}\big(\|r(2\pi)\|^{2}-\|r(0)\|^{2}\big). Avaliando \|r(2\pi)\|^{2}=(2\pi)^{2}+1+0 e \|r(0)\|^{2}=0+1+0 obtém-se diferença 4\pi^{2} e metade 2\pi^{2}, mesmo resultado.

Passo 7

Quando vires uma questão “Calcule a integral de linha” com uma parametrização:
  1. Identifica se o integrando é do tipo \displaystyle f\,ds (escalares) ou \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} / P\,dx+Q\,dy+R\,dz (vetorial).
  2. Calcula \mathbf{r}'(t) e \big|\mathbf{r}'(t)\big|.
  3. Substitui x(t),y(t),z(t) e x'(t),y'(t),z'(t) na fórmula apropriada e integra em t no intervalo dado.
  4. Se for campo conservativo, procura uma potencial para simplificar (ex.: P\,dx+Q\,dy+R\,dz=d\varphi) e usa o teorema fundamental.

Passo 8

Sem a indicação do integrando (função escalar f ou campo vetorial \mathbf{F} / componentes P,Q,R) não existe um único valor para “a integral de linha” pedida. Eu mostrei acima a técnica geral, calculei dois exemplos concretos (o comprimento 2\pi\sqrt{5} e a integral \int_C x\,dx+y\,dy+z\,dz = 2\pi^{2}) usando a parametrização que você deu. Com o integrando certo eu aplico o mesmo procedimento e te entrego o resultado passo a passo.

Resposta

Não é possível calcular a integral de linha pedida porque o integrando (função f ou campo vetorial \mathbf{F}=(P,Q,R)) não foi fornecido.

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