Determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f e (b) use a parte
(a) para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} sobre a curva \boldsymbol{C} dada.
\mathbf{F}(x, y, z)=\operatorname{sen} y \mathbf{i}+(x \cos y+\cos z) \mathbf{j}-y \operatorname{sen} z \mathbf{k}, C: \mathbf{r}(t)=\operatorname{sen} t \mathbf{i}+t \mathbf{j}+2 t \mathbf{k}, 0 \leqslant t \leqslant \pi / 2
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
O enunciado pede:
(a) determinar uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f (ou seja, encontrar um potencial escalar para \mathbf{F});
(b) usar a parte (a) para calcular \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo da curva C dada.
Passo 2
Por que procurar f ajuda? Se existe f com \nabla f=\mathbf{F}, então \mathbf{F} é um campo conservativo e vale o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente:
onde a e b são os extremos do parâmetro da curva. Antes de procurar f é comum verificar que \mathbf{F} é conservativo (em \mathbb{R}^3 basta ver que o rotacional é zero). Vou checar o rotacional \nabla\times\mathbf{F}:
Resumo e interpretação curta: o potencial encontrado é f(x,y,z)=x\sin y + y\cos z + C. Como \mathbf{F} é gradiente o integral de linha depende apenas dos pontos finais; substituindo a parametrização obtemos o valor final 1-\tfrac{\pi}{2}. Força aí — pode confiar nesse resultado quando aparecer algo similar na prova!
Resposta
f(x,y,z)=x\sin y + y\cos z + C\n\displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=1-\frac{\pi}{2}