Determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f e (b) use a parte
(a) para calcular \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} sobre a curva \boldsymbol{C} dada.
\mathbf{F}(x, y, z)=\operatorname{sen} y \mathbf{i}+(x \cos y+\cos z) \mathbf{j}-y \operatorname{sen} z \mathbf{k}, C: \mathbf{r}(t)=\operatorname{sen} t \mathbf{i}+t \mathbf{j}+2 t \mathbf{k}, 0 \leqslant t \leqslant \pi / 2

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Campo vetorial dado:
\mathbf{F}(x,y,z)=\sin y\,\mathbf{i}+\bigl(x\cos y+\cos z\bigr)\,\mathbf{j}-y\sin z\,\mathbf{k}.
  • Curva parametrizada:
\mathbf{r}(t)=\sin t\,\mathbf{i}+t\,\mathbf{j}+2t\,\mathbf{k},\qquad 0\le t\le \frac{\pi}{2}.
  • O enunciado pede:
    (a) determinar uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f (ou seja, encontrar um potencial escalar para \mathbf{F});
    (b) usar a parte (a) para calcular \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ao longo da curva C dada.

Passo 2

Por que procurar f ajuda? Se existe f com \nabla f=\mathbf{F}, então \mathbf{F} é um campo conservativo e vale o Teorema Fundamental do Cálculo para campos gradiente:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f\bigl(\mathbf{r}(b)\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(a)\bigr),
onde a e b são os extremos do parâmetro da curva. Antes de procurar f é comum verificar que \mathbf{F} é conservativo (em \mathbb{R}^3 basta ver que o rotacional é zero). Vou checar o rotacional \nabla\times\mathbf{F}:
Calcular componente x:
(\nabla\times\mathbf{F})_x=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-y\sin z\bigr)-\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\cos y+\cos z\bigr)=-\sin z-(-\sin z)=0.
Componente y:
(\nabla\times\mathbf{F})_y=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(\sin y\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-y\sin z\bigr)=0-0=0.
Componente z:
(\nabla\times\mathbf{F})_z=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\cos y+\cos z\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\sin y\bigr)=\cos y-\cos y=0.
Como \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em todo \mathbb{R}^3 (domínio simplesmente conexo), existe potencial f.

Passo 3

Agora vamos construir f passo a passo usando as relações entre as derivadas parciais e as componentes de \mathbf{F}. Se \mathbf{F}=\nabla f, então
\frac{\partial f}{\partial x}=\sin y,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x\cos y+\cos z,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=-y\sin z.
Começo integrando \dfrac{\partial f}{\partial x}=\sin y em relação a x (tratando y,z como constantes):
f(x,y,z)=\int \sin y\,dx = x\sin y + g(y,z),
onde g(y,z) é a “constante” de integração que pode depender de y e z.
Agora uso a condição sobre \dfrac{\partial f}{\partial y}. Calculo a derivada de f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\sin y + g(y,z)\bigr)=x\cos y + g_y(y,z).
Compare com a componente dada x\cos y+\cos z. Assim
g_y(y,z)=\cos z.
Integro g_y em relação a y:
g(y,z)=\int \cos z\,dy = y\cos z + h(z),
onde h(z) é agora uma função que só depende de z.
Por fim uso a condição sobre \dfrac{\partial f}{\partial z}. Com g encontrado:
f(x,y,z)=x\sin y + y\cos z + h(z).
Calculando \dfrac{\partial f}{\partial z} temos
\frac{\partial f}{\partial z}=-y\sin z + h'(z).
Comparando com a componente F_z=-y\sin z, obtemos h'(z)=0, ou seja h(z) é constante C.
Portanto um potencial geral é
f(x,y,z)=x\sin y + y\cos z + C,
onde C é constante real. (Na prática ao calcular integrais de linha usaremos qualquer escolha de C; diferenças de f anulam C.)

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental para campos gradiente. A curva é parametrizada por t\in[0,\tfrac{\pi}{2}] com
x=\sin t,\qquad y=t,\qquad z=2t.
Tomando C=0 no potencial para simplicidade (qualquer C cancela depois), obtemos a função potencial ao longo da curva:
f\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)=x\sin y + y\cos z\big|_{x=\sin t,\;y=t,\;z=2t} =\sin t\cdot\sin t + t\cos(2t)=\sin^2 t + t\cos(2t).
Pelo Teorema Fundamental para gradientes,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=f\bigl(\mathbf{r}(\tfrac{\pi}{2})\bigr)-f\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr).

Passo 5

Avaliar f nos extremos.
  • Em t=\tfrac{\pi}{2}:
\sin^2\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,\qquad \cos\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\pi=-1,
então
f\bigl(\mathbf{r}(\tfrac{\pi}{2})\bigr)=1 + \tfrac{\pi}{2}\cdot(-1)=1-\tfrac{\pi}{2}.
  • Em t=0:
\sin^2(0)=0,\qquad 0\cdot\cos 0=0,
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f\bigl(\mathbf{r}(0)\bigr)=0.
Subtraindo,
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}= \bigl(1-\tfrac{\pi}{2}\bigr)-0 = 1-\tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Resumo e interpretação curta: o potencial encontrado é f(x,y,z)=x\sin y + y\cos z + C. Como \mathbf{F} é gradiente o integral de linha depende apenas dos pontos finais; substituindo a parametrização obtemos o valor final 1-\tfrac{\pi}{2}. Força aí — pode confiar nesse resultado quando aparecer algo similar na prova!

Resposta

f(x,y,z)=x\sin y + y\cos z + C\n \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=1-\frac{\pi}{2}

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