Esboce o sólido do primeiro octante limitado pelo gráficos das equações dadas, e calcule o seu volume
x^{2}+y^{2}=9, y=2 x, y=0, z=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (x >=0, y >=0, z >=0) limitado pelas superfícies
x^{2}+y^{2}=9,\quad y=2x,\quad y=0,\quad z=0.
Aqui x^{2}+y^{2}=9 é um cilindro circular de raio 3 paralelo ao eixo z; as outras três são planos que formam um “setor” no plano xy e piso em z=0. Vamos descrever esse sólido em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,
e a fronteira lateral x^{2}+y^{2}=9 vira r=3. As restrições no plano xy são
y=0\implies \theta=0, \qquad y=2x\implies r\sin\theta=2r\cos\theta\implies \tan\theta=2\implies \theta=\arctan(2).
Logo o setor em xy é
0\le r\le 3, \quad 0\le \theta\le \arctan(2).

Passo 3

Quanto a z, o enunciado dá apenas o piso z=0 e não impõe nenhum teto (nenhuma equação do tipo z=\dots ou plano horizontal superior). Portanto, para cada (r,\theta) do setor a variável z corre de
z=0 \quad\text{até}\quad z\to +\infty.é
Isso mostra que o sólido é ilimitado em z e, consequentemente, seu volume diverge.

Passo 4

Podemos confirmar por integração direta:
V =\int_{\theta=0}^{\arctan(2)}\!\!\int_{r=0}^{3}\!\!\int_{z=0}^{\infty} r\,dz\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\arctan(2)}\!\!\int_{0}^{3} \Bigl[r\cdot z\Bigr]_{z=0}^{z\to\infty}\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\arctan(2)}\!\!\int_{0}^{3} r\cdot\bigl(\infty\bigr)\,dr\,d\theta =\infty.

Resposta

O volume do sólido é infinito.

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