Esboce o sólido do primeiro octante limitado pelo gráficos das equações dadas, e calcule o seu volume
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante (x
, y
, z
) limitado pelas superfícies
Aqui
é um cilindro circular de raio 3 paralelo ao eixo
; as outras três são planos que formam um “setor” no plano
e piso em
. Vamos descrever esse sólido em coordenadas cilíndricas
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
e a fronteira lateral
vira
. As restrições no plano
são
Logo o setor em
é
Passo 3
Quanto a
, o enunciado dá apenas o piso
e não impõe nenhum teto (nenhuma equação do tipo
ou plano horizontal superior). Portanto, para cada
do setor a variável
corre de
Isso mostra que o sólido é ilimitado em
e, consequentemente, seu volume diverge.
Passo 4
Podemos confirmar por integração direta:
Resposta
O volume do sólido é infinito.