Exercício 5. Encontre no plano cartesiano os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre as coordenadas cartesianas dos pontos.
a. (1, pi);
b. (2,-2 pi / 3);
c. (raiz2, 5 pi / 4);
d. (1,5 pi / 2).

Passo 1

O exercício pede para converter quatro pontos dados em coordenadas polares para coordenadas cartesianas. O conteúdo usado aqui é transformação entre sistemas de coordenadas usando trigonometria.

Passo 2

Para transformar um ponto de coordenadas polares (r,theta) em coordenadas cartesianas (x,y), usamos as fórmulas
x = r cos theta
y = r sin theta
Como as funções trigonométricas têm período 2pi, podemos sempre reduzir o ângulo theta somando ou subtraindo múltiplos de 2pi para ficar em um intervalo conveniente.

Passo 3

Para o ponto (1,pi): calculamos
cos pi = -1 e sin pi = 0. Logo,
x = 1 cdot (-1) = -1
y = 1 cdot 0 = 0

Passo 4

Para o ponto (2,-2pi/3): primeiro lembramos que cos(-2pi/3)=cos(2pi/3)=-1/2 e sin(-2pi/3)=-sin(2pi/3)=-raiz3/2. Então
x = 2 cdot l(-tfrac12r) = -1
y = 2 cdot l(-tfracraiz32r) = -raiz3

Passo 5

Para o ponto (raiz2,5pi/4): temos cos(5pi/4)=-raiz2/2 e sin(5pi/4)=-raiz2/2. Assim,
x = raiz2 cdot l(-tfracraiz22r) = -1
y = raiz2 cdot l(-tfracraiz22r) = -1

Passo 6

Para o ponto (1,5pi/2): reduzimos o ângulo usando a periodicidade: 5pi/2 = 2pi + pi/2, que equivale a pi/2. Então cos(5pi/2)=cos(pi/2)=0 e sin(5pi/2)=sin(pi/2)=1. Logo,
x = 1 cdot 0 = 0
y = 1 cdot 1 = 1

Resposta

a) (-1, 0) b) (-1, -\sqrt{3}) c) (-1, -1) d) (0, 1)

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