Exercício 3. Mostre que
parametriza a hipérbole
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a curva dada por
é justamente a hipérbole
é justamente a hipérbole
Vamos usar a identidade fundamental das funções hiperbólicas, que diz que
Passo 2
Começamos escrevendo a equação da hipérbole e substituindo as parametrizações de
e
:
Passo 3
Simplificamos cada fração ao quadrado:
Logo a expressão fica
Passo 4
Aplicando a identidade
, obtemos exatamente 1. Isso mostra que qualquer ponto
satisfaz a equação da hipérbole, ou seja, a parametrização está correta.
Resposta
A substituição leva a
, logo a parametrização satisfaz a hipérbole dada.