Exercício 3. Mostre que
x=b sinh t, y=a cosh t
parametriza a hipérbole y^2a^2-x^2b^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a curva dada por
x=bsinh t,;y=acosh t
é justamente a hipérbole
y^2a^2-x^2b^2=1
Vamos usar a identidade fundamental das funções hiperbólicas, que diz que
cosh^2t-sinh^2t=1.

Passo 2

Começamos escrevendo a equação da hipérbole e substituindo as parametrizações de x e y:
y^2a^2-x^2b^2 =(acosh t)^2a^2-(bsinh t)^2b^2

Passo 3

Simplificamos cada fração ao quadrado:
(acosh t)^2a^2=cosh^2t, (bsinh t)^2b^2=sinh^2t
Logo a expressão fica
cosh^2t-sinh^2t

Passo 4

Aplicando a identidade cosh^2t-sinh^2t=1, obtemos exatamente 1. Isso mostra que qualquer ponto (bsinh t,,acosh t) satisfaz a equação da hipérbole, ou seja, a parametrização está correta.

Resposta

A substituição leva a cosh^2t-sinh^2t=1, logo a parametrização satisfaz a hipérbole dada.

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