Esboce os subconjuntos do plano definidos pelas condições dadas.
(d) x^{2}=y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o conjunto de todos os pontos (x,y) do plano que satisfazem a condição
x^{2} = y^{2}.
Trata-se de um problema de geometria analítica em que vamos interpretar a equação e identificar sua forma no plano.

Passo 2

Observamos que
x^{2} = y^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2} - y^{2} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x - y)(x + y) = 0.
Essa fatoração indica que, para um ponto pertencer ao conjunto, ou x - y = 0 ou x + y = 0.

Passo 3

Cada uma dessas equações define uma reta no plano:
x - y = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y = x
e
x + y = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y = -x.
Portanto, o conjunto procurado é a união dessas duas retas, ambas passando pela origem e formando um “X” de 45\circ.

Resposta

O conjunto definido por x^{2} = y^{2} é a união das retas
y = x \quad\text{e}\quad y = -x.

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