(2 pontos) Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por T(x, y)=(2 x-y, x+y). Encontre a matriz de T em relação à base B=\left\{v_{1}, v_{2}\right\}, onde v=(1,1) e v_{2}=(1,-1).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y)=(2x-y,\;x+y)
e a base B=\{v_1,v_2\} de \mathbb{R}^2, onde
v_1=(1,1),\quad v_2=(1,-1).
Para achar a matriz de T em relação a B, denotada [T]_B, precisamos calcular as coordenadas de T(v_1) e T(v_2) na base B. Essas coordenadas serão as colunas de [T]_B.

Passo 2

Calcular T(v_1) e escrevê-lo em coordenadas na base B.
T(v_1)=T(1,1)=(2\cdot1-1,\;1+1)=(1,2).
Procuramos c_1,c_2 tais que
c_1\,v_1 + c_2\,v_2 = (1,2),
isto é,
c_1(1,1)+c_2(1,-1)=(1,2) \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} c_1 + c_2 = 1,\\\ c_1 - c_2 = 2. \end{cases}
Somando as duas equações:
2c_1 = 3\implies c_1=\tfrac32,
e então
c_2=1-\tfrac32=-\tfrac12.
Logo
[T(v_1)]_B = \begin{pmatrix}\tfrac32\\[6pt]-\tfrac12\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular T(v_2)\) e escrevê-lo em coordenadas na base \(B\). \[T(v_2)=T(1,-1)=(2\cdot1-(-1),\;1+(-1))=(3,0).
Procuramos d_1,d_2 tais que
d_1\,v_1 + d_2\,v_2 = (3,0),
ou seja,
\begin{cases} d_1 + d_2 = 3,\\\ d_1 - d_2 = 0. \end{cases}
Da segunda equação (d_1=d_2]. Substituindo na primeira:
2d_1=3\implies d_1=d_2=\tfrac32.
Logo
[T(v_2)]_B = \begin{pmatrix}\tfrac32\\[6pt]\tfrac32\end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz de T em relação à base B é
[T]_B = \begin{pmatrix} \tfrac32 & \tfrac32\\[6pt] -\tfrac12 & \tfrac32 \end{pmatrix}.]

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