Esboce os subconjuntos do plano definidos pelas condições dadas.
(v) |x|>|y|

Passo 1

O enunciado pede o esboço do conjunto do plano \mathbb{R}^2 definido por
|x| > |y|.
Este problema envolve geometria analítica: vamos ver em que região do plano a distância de qualquer ponto ao eixo y (dada por |x|) é maior do que a distância ao eixo x (dada por |y|).

Passo 2

Começamos reescrevendo a desigualdade em termos de quadrados, para eliminar valores absolutos:
|x| > |y| \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 > y^2 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - y^2 > 0.
Fatorando,
x^2 - y^2 = (x - y)\,(x + y),
logo a condição vira
(x - y)\,(x + y) > 0.

Passo 3

Para que o produto (x - y)(x + y) seja positivo, ou ambos os fatores são positivos, ou ambos são negativos.
  1. Caso 1:
x - y > 0 \quad\text{e}\quad x + y > 0
isto é
x > y \quad\text{e}\quad x > -y \;\Longrightarrow\; x > |y| \;\Longrightarrow\; x>0
— neste caso, o ponto está à direita do eixo y e entre as retas y=x e y=-x.
2. Caso 2:
x - y < 0 \quad\text{e}\quad x + y < 0
isto é
x < y \quad\text{e}\quad x < -y \;\Longrightarrow\; x < -|y| \;\Longrightarrow\; x<0
— neste caso, o ponto está à esquerda do eixo y e entre as mesmas retas.

Passo 4

Geometricamente, as retas y = x e y = -x dividem o plano em quatro setores de 90^\circ. A condição |x| > |y| seleciona os dois setores que contêm o eixo x, mas sem incluir as próprias retas (por causa da desigualdade estrita).
Para esboçar:
  • Desenhe as linhas y=x e y=-x.
  • Sombreie o setor aberto centrado no eixo positivo x (entre y=-x e y=x à direita).
  • Sombreie o setor aberto centrado no eixo negativo x (entre y=x e y=-x à esquerda).

Resposta

O conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:|x|>|y|\} é a união de dois setores abertos de amplitude 90^\circ em torno do eixo x, limitados pelas retas y=x e y=-x, sem incluir as fronteiras.

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